Краткий курс высшей математики: Часть 2. Учебное пособие. Пономарева Н.В - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

=+
+−=++−= C
x
x
xtgCxtgxtg 1
cos
sin
ln
2
1
2
1
1ln
2
1
2
1
2
2
222
=+−=+
+
−= C
x
xtgC
x
xx
xtg
2
2
2
22
2
cos
1
ln
2
1
2
1
cos
cossin
ln
2
1
2
1
.cosln
2
1
cosln
2
1
2
1
222
CxxtgCxxtg ++=+−=
−
3. =
−
⋅
=
==
=
−
∫∫
t
dttt
dttdxtx
x
dxx
2
2
2
2
sin44
cos2sin4
cos2;sin2
заменуСделаем
4
∫∫∫∫
==
⋅
=
⋅
=
−
⋅
= dttdt
t
tt
t
dttt
t
dttt
2
2
2
2
2
2
sin4
cos
cossin
4
cos
cossin
4
sin12
cossin
8
()()
(
)
=−=−=−=
∫∫∫∫
dttdtdttdtt 2cos22cos122cos1
2
1
4
.
2
arcsin2sin
2
1
2
arcsin22sin
2
1
2 C
xx
Ctt +
−=+
−=
Упростим функцию =
2
arcsin2
x
sin
2
4
4
1
2
2
2
arcsincos
2
arcsinsin2
22
x
x
xxxx −
⋅=−⋅=⋅= ;
.4
22
arcsin2
4
2
2
2
Cx
xx
x
dxx
+−−=
−
∫
4-й метод – интегрирование по частям.
Теорема 3. Если функция u(x) и v(x) непрерывно-дифференцируемы на
множестве Х, то существует
. (3)
∫∫
−⋅= )()()()()()( xduxvxvxuxdvxu
12
      1 2    1                 1 2    1  sin 2 x     
     = tg x − ln tg x + 1 + C = tg x − ln 
                   2
                                                  + 1 +C =
                                                      
      2      2                 2      2  cos 2 x     

      1 2    1 sin 2 x + cos 2 x       1 2      1    1
     = tg x − ln                 + C =   tg x −   ln      +C =
      2      2      cos 2 x            2        2 cos 2 x

         1 2     1                  1
     =     tg x − ln cos − 2 x + C = tg 2 x + ln cos x + C.
         2       2                  2


          x 2 dx           Сделаем замену                             4 sin 2 t ⋅ 2 cos t dt
3.   ∫             2
                       =
                            x = 2 sin t; dx = 2 cos t dt
                                                                =∫
                                                                                        2
                                                                                                  =
          4−x                                                               4 − 4 sin t

            sin 2 t ⋅ cos t dt           sin 2 t ⋅ cos t dt        sin 2 t ⋅ cos t
     = 8∫                         = 4∫                        = 4∫                 dt = 4 ∫ sin 2 t dt =
             2 1 − sin 2 t                      cos 2 t                cos t


     = 4∫
            1
            2
              (1 − cos 2 t ) dt = 2 ∫ (1 − cos 2 t ) dt = 2          (∫ dt − ∫ cos 2 t dt ) =
             1                        x 1            x
     = 2  t − sin 2 t  + C = 2  arcsin − sin 2 arcsin  + C.
             2                        2 2            2

                                                               x
            Упростим функцию sin 2 arcsin                        =
                                                               2

                          x            x      x    x2      4 − x2
            = 2 sin arcsin ⋅ cos arcsin = 2 ⋅   1−    = x⋅        ;
                          2            2      2    4         2

                   x 2 dx                  x x
            ∫                 = 2 arcsin    −
                                           2 2
                                               4 − x 2 + C.
                   4 − x2


4-й метод – интегрирование по частям.

      Теорема 3. Если функция u(x) и v(x) непрерывно-дифференцируемы на
множестве Х, то существует

                                  ∫ u ( x ) dv ( x ) = u ( x ) ⋅ v ( x ) − ∫ v ( x ) du ( x ) .            (3)


                                                                                                           12

Страницы