Краткий курс высшей математики: Часть 2. Учебное пособие. Пономарева Н.В - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

()
()
.
9
7
3
2
3
1
27
7
9
2
3
1
27
2
9
2
3
1
3
1
9
1
3
1
3
2
1
3
1
3
1
3
1
3
2
1
3
1
3
1
,
,
2323
233332
3332
3
3
CxxeCxxe
CxxeCeexex
dxeexex
evdxdu
dxedvxu
xx
xxxx
xxx
x
x
+
−−⋅=+
−−⋅=
=+
+−−⋅=+
−⋅−⋅−=
=
−−⋅−=
==
==
=
∫
Замечание – При отыскании v(x) достаточно взять какую-нибудь одну
первообразную, поэтому полагаем С
= 0.
Мы рассмотрели четыре метода интегрирования элементарных функций,
но среди этих функций встречаются такие, интегралы от которых часто
используются в приложениях к математике, и об их интегрировании мы
поговорим особо.
1.1.2 Интегрирование рациональных дробей R(x)
)(
)(
)(
xQ
xP
xR
n
k
= ,
где P
k
(x) – многочлен k-ой степени относительно х,
Q
n
(x) – многочлен n-ой степени относительно х.
Если k < n , то R(x) – правильная дробь,
если n
k
≥ , то R(x) – неправильная дробь.
Для того чтобы найти
применяем метод разложения. Дробь,
стоящую под знаком интеграла, нужно представить в виде суммы функций,
интегралы от которых будут находиться теми методами, которые мы уже
рассмотрели:
∫
dxxR )(
1) если R(x) – неправильная дробь, то представляем эту дробь в виде суммы её
целой части и дробной части (правильной рациональной дроби);
2) если R(x) – правильная дробь, то представляем эту дробь в виде суммы
простейших дробей I – IV типов.
14
      u = x, dv = e 3 x dx
  =
                         1 2
                                (     )
                                      2  1 3x 1 3x 
                  1 3 x = x − 1 ⋅ e −  x e − ∫ e dx  =
                                   3x
                                      3 3
      du = dx, v = e     3                     3     
                  3


  =    (
      1 2
               )      2 1         1                   1     1 2    2
        x − 1 ⋅ e 3x −  x ⋅ e 3x − e 3x  + C = e 3x ⋅  x 2 − − x +  + C =
                      33
      3                            9                   3     3 9   27 


           1     2   7      1                    2   7
  = e 3x ⋅  x 2 − x −  + C = e 3x        ⋅  x 2 − x −  + C.
           3     9   27     3                    3   9

       Замечание – При отыскании v(x) достаточно взять какую-нибудь одну
первообразную, поэтому полагаем С = 0.

       Мы рассмотрели четыре метода интегрирования элементарных функций,
но среди этих функций встречаются такие, интегралы от которых часто
используются в приложениях к математике, и об их интегрировании мы
поговорим особо.


       1.1.2 Интегрирование рациональных дробей R(x)


                                                  Pk ( x )
                                      R( x ) =             ,
                                                  Qn ( x)

           где Pk (x) – многочлен k-ой степени относительно х,
              Qn (x) – многочлен n-ой степени относительно х.


           Если k < n , то R(x) – правильная дробь,
           если k ≥ n , то R(x) – неправильная дробь.

           Для того чтобы найти     ∫ R( x ) dx    применяем метод разложения. Дробь,
стоящую под знаком интеграла, нужно представить в виде суммы функций,
интегралы от которых будут находиться теми методами, которые мы уже
рассмотрели:
1) если R(x) – неправильная дробь, то представляем эту дробь в виде суммы её
   целой части и дробной части (правильной рациональной дроби);
2) если R(x) – правильная дробь, то представляем эту дробь в виде суммы
   простейших дробей I – IV типов.

                                                                                   14

Страницы