Краткий курс высшей математики: Часть 2. Учебное пособие. Пономарева Н.В - 27 стр.

     2 Функции нескольких переменных

     2.1 Основные понятия и теоремы


         Совокупность n чисел называют упорядоченной, если указано, какое из
этих чисел считается первым, какое – вторым и т.д.
         Произвольную упорядоченную совокупность n чисел записывают в виде
(х1, х2, …, хn). Множество всевозможных упорядоченных совокупностей n чисел
называется n-мерным арифметическим пространством и обозначается Rn.
Каждая упорядоченная совокупность (х1, х2, …, хn) называется точкой этого
пространства и обозначается М(х1, х2, …, хn). Числа х1, х2, …, хn называются
координатами точки М.
         Пусть М1(х1, х2, …, хn) и М2(у1, у2, …, уn) – две произвольные точки
пространства Rn.
       Определение: Число

             ρ (М 1 , М 2 ) =    ( у1 − х1 )2 + ( у 2 − х 2 )2 + ... + ( у n − х n )2     (5)

называется расстоянием между точками М1 и М2.
        Рассмотрим различные арифметические пространства:
        1. Точками пространства R1 являются действительные числа. Если х1 и
х2 две точки этого пространства, то

                        ρ ( х1 , х 2 ) =   ( х 2 − х1 ) 2   = х 2 − х1

– это известная формула расстояния между двумя точками числовой прямой.

       2. Элементами пространства R2 являются упорядоченные совокупности
из двух чисел М(х1, х2). Множество таких точек лежат на плоскости. Расстояние
между двумя точками М1(х1, х2)∈R 2 и М2(у1, у2) ∈R 2 находим по формуле

                     ρ (М 1 , М 2 ) =      ( у 1 − х1 ) 2 + ( у 2 − х 2 ) 2
– также известной из школьного курса.

       3. Элементами пространства R3 являются упорядоченные наборы из
трех чисел М(х1, х2, х3). Геометрически это множество точек представляет
трехмерное пространство. Если М1(х1, х2, х3) ∈R 3 и М2 (у1, у2, у3) ∈R 3 , то

              ρ (М 1 , М 2 ) =    ( у 1 − х1 ) 2 + ( у 2    − х 2 )2 + ( у 3 − х 3 )2 .



                                                                                           27