Краткий курс высшей математики: Часть 2. Учебное пособие. Пономарева Н.В - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Определение:
()
(
)
{
}
δρ
δ
<∈= MMRMMO
n
,:
00
, – называется
(
0
MО
δ
)
δ
-окрестностью точки М
0
.
Определение:
()
(
)
{
}
δρ
δ
<<∈= MMоRMMО
n
,:
00
&
, –
называется выколотой
(
0
MО
δ
&
)
δ
-окрестностью точки М
0
.
Построим
(
)
0
MО
δ
в различных пространствах.
1) Рассмотрим R
1
. Точка
(
)
1
00
RxM ∈ и
(
)
1
RхМ ∈ .
()
(
)
{
}
{
}
{
}
δδδδρ
δ
+<<−∈=<−∈=<∈=
00
1
0
1
0
1
0
::,: xxxRxxхRххxRхxO
– интервал с центром в точке х
0
радиуса
δ
.
0
x
0
x+
δ
(
)
0
xО
δ
0
x –
δ
Рисунок 4.
2) Рассмотрим R
2
. Точка
(
)
20
2
0
10
, RxxM ∈ и –
произвольная точка пространства R
()
2
21
, RxxM ∈
2
.
() ( ) ( )
{
}
()
()( )
()
()()
,:,
:,
,:,
2
2
0
22
2
0
11
2
21
2
0
22
2
0
11
2
21
0
2
210
<−+−∈=
=
<−+−∈=
=<∈=
δ
δ
δρ
δ
xхxхRххМ
xхxхRххМ
МMRххMMO
т.е.
в пространстве R
(
0
MО
δ
(
21
, xx
)
)
2
– внутренность круга с центром в точке
радиуса
δ
.
0
M
28
                                                  {
       Определение: Oδ (M 0 ) = M ∈ R n : ρ (M 0 , M )< δ , Оδ (M 0 ) – называется      }
δ -окрестностью точки М0.

       Определение:                                   {
                       О&δ (M 0 ) = M ∈ R n : о < ρ (M 0 , M ) < δ ,                            }       О&δ (M 0 )     –
называется выколотой δ -окрестностью точки М0.

          Построим Оδ (M0 ) в различных пространствах.
          1) Рассмотрим R1. Точка M 0 ( x 0 ) ∈ R 1 и М ( х ) ∈ R 1 .

              {                              } {                                  } {
 Oδ ( x 0 ) = х ∈ R 1 : ρ ( x 0 , х ) < δ = х ∈ R 1 : х − x 0 < δ = x ∈ R 1 : x 0 − δ < x < x 0 + δ                   }
– интервал с центром в точке х0 радиуса δ .



                                                       Оδ ( x 0 )

                                                                                                    х
                                         x0 – δ           x0               x0 + δ


                                                      Рисунок 4.


       2) Рассмотрим R2. Точка                                     (
                                                           M 0 x10 , x 20 ∈R 2)             и   M ( x1 , x 2 ) ∈R 2    –
произвольная точка пространства R2.

              {
Oδ (M 0 ) = M ( х1 , х 2 ) ∈ R 2 : ρ (M 0 , М ) < δ =          }
  
=  М ( х1 , х 2 ) ∈ R 2 :       (х1 − x10 )2 + (х 2 − x 20 )2 < δ  =
                                                                      


                             (
=  М ( х1 , х 2 ) ∈ R 2 : х1 − x10
   
                                         )2 + (х 2 − x 20 )2 < δ 2 ,
т.е. Оδ (M 0 ) в пространстве R2 – внутренность круга с центром в точке
M 0 ( x1 , x 2 ) радиуса δ.




                                                                                                                      28

Страницы