Краткий курс высшей математики: Часть 2. Учебное пособие. Пономарева Н.В - 79 стр.

                                           ∞
           Если степенной ряд             ∑ a n x n сходится только при х = 0, то полагают R = 0,
                                          n =0
если же этот ряд сходится ∀х ∈ (− ∞; ∞ ) , то считают R = ∞ .

                                                                                                          ∞
           Отметим следующее: Если R > 0 – радиус сходимости ряда                                         ∑ а n x n , то
                                                                                                         n =0
                            ∞
∀x ∈ (− R; R ) ряд         ∑ an x n   – сходится и имеет сумму S(x), т.е.
                           n =0

                     ∞
∀x ∈ (− R; R ) ∑ a n x n = S ( x ) .
                    n =0
                                                                                                          ∞
           Найдем формулы для вычисления радиуса сходимости ряда                                         ∑ an x n .
                                                                                                        n =0
                                                                                                           a n +1
           Предположим, что существует конечный или бесконечный lim                                               = λ.
                                                                                                        n→∞ a n

                                                                                                  a n +1 x n +1
Найдем для данного ряда те значения х, для которых lim                                                            < 1 , т.е.
                                                                                           n →∞     an x n
                                                                                                 a n +1
воспользуемся              признаком             Даламбера.        Получим                х ⋅ lim       < 1.           Это
                                                                                             n →∞ a n

                                                                         1
неравенство будет выполняться для ∀х : х <                                           . Очевидно, что для ∀x,
                                                                         a
                                                                     lim an +1
                                                                     n →∞ n
                                                          1
удовлетворяющих неравенству х >                                      степенной ряд будет расходиться.
                                                           аn +1
                                                      lim
                                                      n → ∞ аn
Значит, из определения радиуса сходимости степенного ряда следует, что

            1               аn
R=                  = lim         .
            аn +1     n →∞ а n +1
       lim
       n → ∞ аn
       Радиус сходимости степенного ряда можно находить и с помощью
радикального признака Коши.
       Предположим, что существует lim n а n ≠ 0 . Найдем, для каких х
                                                              n →∞
выполняется условие:
                                                                            1
lim    n   аn x n < 1 ⇒           x lim   n   аn < 1 ⇒        x<                      .
n →∞                               n →∞                               lim   n   аn
                                                                     n →∞



                                                                                                                        79