Краткий курс высшей математики: Часть 2. Учебное пособие. Пономарева Н.В - 81 стр.

                                                                               ∞              n2
                                                         n + 1
         Пример 45. Найти интервал сходимости ряда ∑              n
                                                                ⋅x .
                                                   n =1  n 
                                             n2
                              n + 1
       Решение: Здесь a n =         . Найдем R, используя интегральный
                              n 
                         1             1                  1            1        1
признак Коши: R = lim        = lim              = lim          =              =   ,
                  n →∞ n a
                           n
                                n→∞
                                     n n +1 n 2
                                                       (    )
                                                  n → ∞ n +1 n
                                                  (n )               (
                                                                 lim 1 + 1 )n
                                                                               n
                                                                                e
                                                                                         n→∞        n


                                                  1      1     1
Следовательно, ряд сходится ∀x : x <                или − < x < . Исследуем поведение
                                                  e      e     e
ряда на концах интервала сходимости.
                                              ∞                  n2
         1                                         n + 1                1
Пусть х = . Получим числовой ряд             ∑                     ⋅        . Найдём
         е                                   n =1     n                  еn
                            2                           n                                    n n
               n + 1
                       n
                            1           n + 1  n  1                               1        1
lim a n = lim          ⋅   n
                               = lim               ⋅ n
                                                           = lim    1 +                     ⋅ n =
n→∞       n→∞  n         e     n → ∞   n       e     n → ∞                   n     e
              1
= lim e n ⋅ = 1 ≠ 0 – не выполняется необходимый признак сходимости ряда,
  n →∞   en
следовательно, ряд расходится.

           1
Пусть х = − . Получим числовой ряд
           е

 ∞            n2     ∞  n                      n2
      n + 1  1             n + 1                  1
∑  n   − n  = ∑ (− 1)n  n                 ⋅        .
n =1           е  n =1                                en

Очевидно, что и для этого ряда не выполняется необходимый признак
сходимости, следовательно, ряд расходится.
                                                       1 1
Областью сходимости степенного ряда является интервал  − ;  .
                                                       е е
                                                                      ∞
                                                                                   xn
         Пример 46. Исследовать поведение ряда                        ∑ 2n ⋅        n +1
                                                                                             при x = 1 .
                                                                      n=0
      Решение: В примере 44 была найдена область сходимости этого ряда.
Было установлено, что этот ряд сходится для всех − 2 ≤ x < 2 . Так как х = 1




                                                                                                           81