Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

()
()
()
.2sin22
22
cos
sin
sinsin2cossin2
;cossin22sin
sinsin
sinsin
sinsin
CeexCeet
dteet
evdtedv
dtdutu
dtet
dxxdt
xt
xdexCdxexxu
dxexxduxe
dx
du
xxtt
tt
tt
t
xx
xx
+−⋅−=+−⋅−⋅=
=+⋅−⋅=
−=⇒=
=⇒=
=⋅=
=
=
=
=⋅=+⋅⋅=
⋅⋅=⇒=⋅
−−−−
−−
−−
−
−−
−
∫∫
∫∫
(
)
xxxx
eCxCeexevuy
sinsinsinsin
2sin22sin2 ⋅+−−=+−⋅−⋅=⋅=
−
−
– общее решение уравнения.
Используя начальные условия, найдем
,20sin21
0sin
eC ⋅+−−=−
.121
=
⇒+−=−
C
C
Решение задачи Коши имеет вид:
.2sin2
sin
−−= xey
x
б) Найти общее решение уравнения
(
)
(
)
.011
2
2
=+
′
+
′′
⋅+ yyx
Решение: Это уравнение второго порядка, не содержащее явно
неизвестной функции у. Обозначим
(
)
xpy
=
′
, тогда
dx
dp
y =
′′
. Уравнение примет
вид:
()
.011
22
=++⋅+ p
dx
dp
x Это уравнение с разделяющимися переменными.
Разделим переменные:
1
2222
1111
arctgCxarctgparctg
x
dx
p
dp
x
dx
p
dp
+−=⇒
+
−=
+
⇒
+
−=
+
∫∫
или
.
1
xarctgCarctgparctg −=
Возьмем тангенсы от обеих частей, получим
97
du sin x
   ⋅e    = sin 2 x ⇒ du = 2 sin x ⋅ cos x ⋅ e −sin x dx;
dx

                                                                                       t = sin x
u = ∫ 2 sin x ⋅ cos x ⋅ e −sin x dx + C = 2 ∫ sin x ⋅ e −sin x d (sin x ) =                          =
                                                                                       dt = cos x dx


                         u = t ⇒ du = dt
= 2 ∫ t ⋅ e −t dt =                  −t
                         dv = e dt ⇒ v = − e                 −t
                                                                          (                   )
                                                                   = 2 ⋅ − t ⋅ e −t + ∫ e −t dt =



       (                     )
= 2 ⋅ − t ⋅ e −t − e −t + C = −2 sin x ⋅ e −sin x − 2e −sin x + C.

                         (                                            )
y = u ⋅ v = e sin x ⋅ − 2 sin x ⋅ e − sin x − 2e − sin x + C = −2 sin x − 2 + C ⋅ e sin x
– общее решение уравнения.

Используя начальные условия, найдем

− 1 = −2 sin 0 − 2 + C ⋅ e sin 0 ,

− 1 = −2 + C ⇒ C = 1 .

Решение задачи Коши имеет вид: y = e sin x − 2 sin x − 2.


                                                                      (
           б) Найти общее решение уравнения 1 + x 2 ⋅ y ′′ + ( y ′)2 + 1 = 0.  )
        Решение: Это уравнение второго порядка, не содержащее явно
                                                             dp
неизвестной функции у. Обозначим y ′ = p( x ) , тогда y ′′ =    . Уравнение примет
                                                             dx
       (
вид: 1 + x 2 ⋅  )
               dp
               dx
                  + p 2 + 1 = 0. Это уравнение с разделяющимися переменными.

Разделим переменные:

  dp                dx                       dp               dx
1 + p2
           =−
                1 + x2
                                 ⇒        ∫ 1 + p2   = −∫
                                                            1 + x2
                                                                          ⇒ arctg p = − arctg x + arctgC1


или arctg p = arctg C1 − arctg x.
Возьмем тангенсы от обеих частей, получим


                                                                                                            97

Страницы