ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
()
xarctgarctgCtgp −⋅=
1
,
xC
xC
p
1
1
1+
−
= .
Так как
dx
dy
p = , то имеем
xC
xC
dx
dy
1
1
1+
−
= или dx
xC
xC
1
1
1 +
dy
−
= . Отсюда
2
1
1
1
Cdx
xC
xC
y +⋅
+
−
=
∫
,
уравнения.решениеобщее1ln
1
1
,1ln
1
1ln
,
1
11
1
1
2
1
1
2
1
21
2
1
1
1
2
1
1
11
1
−+−+⋅
+=
++⋅+−+=
+⋅
+
−+
−⋅
+
=
∫∫
C
C
x
xC
C
y
CxC
C
C
x
xCy
Cdx
xC
xC
C
dx
xC
C
y
Задача. Найти общее решение уравнения
(
)
x
exxyyy ⋅+=−
′
−
′′
2
2 – это
линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с
постоянными коэффициентами.
Решение: Общее решение такого уравнения равно сумме общего
решения соответствующего однородного уравнения и частного решения
данного неоднородного уравнения, т.е.
...... нчооно
yyy
+
=
Найдём
. Для этого решаем уравнение .
..оо
y 02
=
−
′
−
′
′
yyy
0
=
Составляем для
него характеристическое уравнение:
k ;
2
2
−− k
,
2
31
±
=
1
kk . 1,2
2
−== k
xx
оо
eCeСy
−
⋅+⋅=
2
2
1..
.
Найдем
.
. Запишем его по виду правой части уравнения:
.нч
y
(
)
x
нч
eCBxAxy ⋅++=
2
..
.
Найдем А, В, С, для этого
,
..нч
y
..нч
y
′
и
..нч
y
′
′
подставим в уравнение
()
(
)
,2
2
..
xx
нч
eCBxAxeBAxy ⋅+++⋅+=
′
()()
(
)
.222
2
..
xxxx
нч
eCBxAxeBAxeBAxeAy ⋅+++⋅++⋅++⋅=
′′
Подставляем в уравнение
98
C1 − x
p = tg ⋅ (arctgC1 − arctg x ) , p = .
1 + C1 x
dy dy C1 − x C −x
Так как p = , то имеем = или dy = 1 dx . Отсюда
dx dx 1 + C1 x 1 + C1 x
C1 − x
y=∫ ⋅ dx + C 2 ,
1 + C1 x
C1 1 C1 x + 1 − 1
y=∫
C 1 ∫ 1 + C1 x
⋅ dx − ⋅ dx + C 2 ,
1 + C1 x
x 1
y = ln 1 + C1 x − + ⋅ ln 1 + C1 x + C 2 ,
C1 C12
1
y = 1 + 2 ⋅ ln 1 + C1 x − x + C 2 − общее решение уравнения.
C1 C1
Задача. Найти общее решение уравнения y ′′ − y ′ − 2 y = x + x 2 ⋅ e x – это( )
линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с
постоянными коэффициентами.
Решение: Общее решение такого уравнения равно сумме общего
решения соответствующего однородного уравнения и частного решения
данного неоднородного уравнения, т.е. y о.н. = y о.о. + y ч.н.
Найдём y о.о. . Для этого решаем уравнение y ′′ − y ′ − 2 y = 0. Составляем для
1± 3
него характеристическое уравнение: k 2 − k − 2 = 0 ; k = , k1 = 2, k 2 = −1 .
2
y о.о. = С1 ⋅ e 2 x + C 2 ⋅ e − x .
(
Найдем yч.н. . Запишем его по виду правой части уравнения: y ч.н. = Ax 2 + Bx + C ⋅ e x . )
Найдем А, В, С, для этого yч.н. , yч′ .н. и yч′′.н. подставим в уравнение
( )
y ч′ .н. = (2 Ax + B ) ⋅ e x + Ax 2 + Bx + C ⋅ e x ,
( )
y ч′′.н. = 2 A ⋅ e x + (2 Ax + B ) ⋅ e x + (2 Ax + B ) ⋅ e x + Ax 2 + Bx + C ⋅ e x .
Подставляем в уравнение
98
