Краткий курс высшей математики: Часть 2. Пономарева Н.В - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

б)
()
1
1
1
2
1
1
+
∞
=
+
⋅
+
−
∑
n
n
n
n
n
. Составим ряд из абсолютных величин членов
данного ряда
∑
∞
=
⋅
+
1
2
1
n
n
n
n
и применим к нему признак Даламбера:
n
n
n
n
a
2
1
⋅
+
=
,
()
1
1
21
2
+
+
⋅+
+
=
n
n
n
n
a .
Найдём
()
() ()
(
)
()
1
2
1
1
2
lim
2
1
121
22
limlim
21
1
<=
+
+⋅
=
+⋅⋅+
⋅⋅+
=
∞→
+
∞→
+
∞→
n
nn
nn
nn
a
a
n
n
n
n
n
n
n
.
Следовательно, ряд
∑
∞
=
⋅
+
1
2
1
n
n
n
n
сходится. Значит, данный ряд абсолютно сходится.
Задача. Найти область сходимости степенного ряда
()
()
()
.3
51
1
1
n
n
n
n
x
n
−⋅
⋅+
−
∞
=
∑
Решение: Найдем, при каких х выполняется неравенство
n
n
n
a
a
1
lim
+
∞→
<1, т.е.
() ( ) ( )
() ()()
1
3152
5131
lim
1
11
<
−⋅−⋅⋅+
⋅+⋅−⋅−
+
/
+
/
+
∞→
nn
n
n
nn
n
xn
nx
,
()( )
2
11
lim
5
3
+
+⋅−
−
n
n
x
<1
531
5
3
<−⇒<
−
⇒ x
x
,
т.е. 82,535 <<
−
<−<−
x
x
– интервал сходимости.
Исследуем ряд на концах интервала:
х = –2,
()( )
()
∑∑
∞
=
∞
=
+
=
⋅+
−⋅−
11
1
1
51
51
nn
n
nn
n
n
– ряд расходится.
х = 8,
()
()
()
∑
– ряд условно сходится по признаку Лейбница.
∑
∞
=
∞
=
+
−
=
⋅+
⋅−
11
1
1
51
51
nn
n
n
n
n
n
n
100
                   ∞
                                          n +1
          б)       ∑ (− 1)n +1 n ⋅ 2 n +1 .           Составим ряд из абсолютных величин членов
                   n =1
                          ∞
                                 n +1
данного ряда              ∑ n ⋅ 2n        и применим к нему признак Даламбера:
                          n =1


         n +1                             n+2
an =            , a n +1 =                            .
       n ⋅ 2n                      (n + 1) ⋅ 2 n +1

              a n +1            (n + 2 ) ⋅ n ⋅ 2 n        1     n ⋅ (n + 2 ) 1
Найдём lim           = lim                              =   lim             = < 1.
           n→∞ a n     n → ∞ (n + 1) ⋅ 2 n +1 ⋅ (n + 1)   2 n →∞ (n + 1)2    2
                                   ∞
                                          n +1
Следовательно, ряд                 ∑ n ⋅ 2n      сходится. Значит, данный ряд абсолютно сходится.
                                   n =1



          Задача. Найти область сходимости степенного ряда ∑
                                                                 (− 1)n               ∞
                                                                             ⋅ ( x − 3)n .
                                                           n=1 (n + 1) ⋅ 5
                                                                           n

                                                                                              a n +1
          Решение: Найдем, при каких х выполняется неравенство lim                                   <1, т.е.
                                                                                          n →∞ a n


lim
    (− 1)n +1 ⋅ ( x − 3)n/ +1 ⋅ (n + 1) ⋅ 5 n
                                                           < 1,
n →∞ (n + 2 ) ⋅ 5 n/ +1 ⋅ (− 1)n ⋅ ( x − 3)n



 x−3
          lim
                (− 1) ⋅ (n + 1) <1           ⇒
                                                      x−3
                                                                <1 ⇒     x − 3 < 5,
   5                   n+2                                5

т.е. − 5 < x − 3 < 5, − 2 < x < 8 – интервал сходимости.

          Исследуем ряд на концах интервала:

               ∞
                (− 1)n ⋅ (− 5)n = ∞ 1
х = –2,     ∑                     ∑ n +1                      – ряд расходится.
            n =1 (n + 1) ⋅ 5
                             n
                                  n =1


               ∞
                 (− 1)n ⋅ 5 n = ∞ (− 1)n
х = 8,      ∑ (n + 1) ⋅ 5 n ∑ n + 1                       – ряд условно сходится по признаку Лейбница.
            n =1                n =1




                                                                                                           100

Страницы