Практикум по программированию на языке Turbo Pascal. Часть 2. Портнягина В.В - 108 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КамчатГТУ | Петропавловск-Камчатский

Составители: 

Рубрика: 

Теоретический материал
Описание метода Симпсона. Вычисление определенных
интегралов реализуют с помощью соответстствующих числен-
ных методов, к которым относится и метод Симпсона. Этот ме-
тод предусматривает вычисление определенного интеграла:
∫
=
b
a
dxxfy )(
по формуле:
,)(2)(4)()(
3
2
2
1
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++−=
∑∑
−
=
−
=
n
j
j
n
i
i
xfxfbfaf
h
у
где i = 1, 3, 5, …, n – 1;
j = 2, 4, 6, …, n – 2;
h = (b – a)/n – шаг интгрирования при разбиении интер-
вала [a, b] на n отрезков (n – четное);
f (a), f(b), f(x
i
), f(x
j
) – значение подинтегральной функции при
соответствующих при соответствующих значениях аргумента из
последовательности x
0
= a, x
1
= a + h, x
2
= a + 2h, …, x
n – 2
= a + (n –
– 2) * h = b – 2h, x
n – 1
= a + (n – 1) * h = b – h, x
n
= b.
Очевидно, что чем меньше h (больше n), тем более точно
решается задача. Для обеспечения заданной точности ее ре-
шения έ (έ << 1) рекомендуется вычислять интеграл (значение
y) по формуле Симпсона неоднократно, каждый раз удваивая
число отрезков разбиения интервала [a, b]. В итоге получается
последовательность значений интеграла y
0
, y
1
, y
2
,
…, y
i
, …, y
m
,
для n
0
, n
1
= 2n
0
, n
2
= 2n
1
, 2n
0
, …, n
i
= 2n
i – 1
…, n
m
= 2n
m – 1
сответ-
стенно ( здесь n
0
– начальное число отрезков разбиения интер-
вала интегрирования.
При этом считается, что достигнута заданная точность
вычислений έ, если выполняется условие | y
m
– y
m – 1
| < = έ.
Описанный вычислительный процесс является итораци-
онным и его алгоритм (основной алгоритм задачи) может
бить представлен в виде схемы, изображенной на рис. Этот
алгоритм носит циклический характер, так как предусматри-
108
                       Теоретический материал

    Описание метода Симпсона. Вычисление определенных
интегралов реализуют с помощью соответстствующих числен-
ных методов, к которым относится и метод Симпсона. Этот ме-
тод предусматривает вычисление определенного интеграла:
                                      b

                                 y=   ∫ f ( x)dx
                                      a

по формуле:
                h⎡                      n −1              n−2
                                                                        ⎤
           у=    ⎢
                3⎣
                   f ( a ) − f (b ) + 4   ∑  f ( xi ) + 2 ∑    f ( x j )⎥,
                                        i =1              j =2          ⎦
где i = 1, 3, 5, …, n – 1;
     j = 2, 4, 6, …, n – 2;
     h = (b – a)/n – шаг интгрирования при разбиении интер-
вала [a, b] на n отрезков (n – четное);
     f (a), f(b), f(xi), f(xj) – значение подинтегральной функции при
соответствующих при соответствующих значениях аргумента из
последовательности x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, …, xn – 2 = a + (n –
– 2) * h = b – 2h, xn – 1 = a + (n – 1) * h = b – h, xn = b.
    Очевидно, что чем меньше h (больше n), тем более точно
решается задача. Для обеспечения заданной точности ее ре-
шения έ (έ << 1) рекомендуется вычислять интеграл (значение
y) по формуле Симпсона неоднократно, каждый раз удваивая
число отрезков разбиения интервала [a, b]. В итоге получается
последовательность значений интеграла y0, y1, y2, …, yi, …, ym,
для n0, n1 = 2n0, n2 = 2n1, 2n0, …, ni = 2ni – 1 …, nm = 2nm – 1 сответ-
стенно ( здесь n0 – начальное число отрезков разбиения интер-
вала интегрирования.
    При этом считается, что достигнута заданная точность
вычислений έ, если выполняется условие | ym – ym – 1 | < = έ.
    Описанный вычислительный процесс является итораци-
онным и его алгоритм (основной алгоритм задачи) может
бить представлен в виде схемы, изображенной на рис. Этот
алгоритм носит циклический характер, так как предусматри-
                                       108

Страницы