Составители:
Рубрика:
7
1.1.2. Îòíîøåíèå
Ââåäåì ïîíÿòèå îòíîøåíèÿ. Ãîâîðÿò, ÷òî íà A çàäàíî îòíîøåíèå R,
åñëè çàäàíî ïîäìíîæåñòâî R äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ À×À (R⊆A×A).
Ýëåìåíò à∈À íàõîäèòñÿ â îòíîøåíèè R ê ýëåìåíòó b∈A (çàïèñûâàåòñÿ
êàê aRb) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà (a,b)∈R. Ïðè ýòîì ñóùåñòâåí ïîðÿ-
äîê ýëåìåíòîâ: ìîæåò áûòü, ÷òî à íàõîäèòñÿ â îòíîøåíèè R ê ýëåìåíòó
b, íî b íå íàõîäèòñÿ â îòíîøåíèè R ê à.
Îòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ: à) ñèììåòðè÷íûì, åñëè aRb òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà bRa; á) ðåôëåêñèâíûì, åñëè äëÿ ëþáîãî a∈A aRa; â) òðàí-
çèòèâíûì, åñëè èç aRb è bRc ñëåäóåò aRc; ã) àíòèñèììåòðè÷íûì, åñëè
èç aRb è bRa ñëåäóåò a=b.
Èç ìíîæåñòâà âñåõ îòíîøåíèé âûäåëÿåòñÿ êëàññ îòíîøåíèé, îäíî-
âðåìåííî ñèììåòðè÷íûõ, òðàíçèòèâíûõ è ðåôëåêñèâíûõ. Òàêèå îòíî-
øåíèÿ íàçûâàþòñÿ îòíîøåíèÿìè ýêâèâàëåíòíîñòè.
1.1.3. Îòîáðàæåíèå
Òåðìèíû îòîáðàæåíèå (êàê ïîíÿòèå îäíîçíà÷íîãî ñîîòâåòñòâèÿ) è
ôóíêöèÿ áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ñèíîíèìû. Ñ÷èòàåì, ÷òî çàäàíî îòî-
áðàæåíèå f : X→Y, åñëè êàæäîìó ýëåìåíòó x∈X ñîïîñòàâëåí ýëåìåíò
f(x)∈Y.
Ïóñòü f: X→Y íåêîòîðîå îòîáðàæåíèå. Åñëè A⊂X, òî îáðàçîì À
ïðè îòîáðàæåíèè f íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ B⊂Y òàêîå, ÷òî
y∈B òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò x∈A òàêîé, ÷òî y=f(x). Ïðî-
îáðàçîì C⊂Y ïðè îòîáðàæåíèè f íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî D⊂X òàêîå, ÷òî
x∈D òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà f(x)∈C. Îáðàç è ïðîîáðàç îáîçíà÷èì
ñîîòâåòñòâåííî f(A) è f
1
(C). Îïåðàöèÿ âçÿòèÿ îáðàçà èëè ïðîîáðàçà
ìíîæåñòâà óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì:
f
1
(A∪B) = f
1
(A) ∪ f
1
(B), f (A∪B) = f (A) ∪ f (B);
f
1
(A∩B) = f
1
(A) ∩ f
1
(B), f (A∩B) ⊂ f(A) ∩ f(B);
f
1
(Y \ A) = X \ f
1
(A), f (X \ A) ⊃ f (X) \ f (A).
Îäíàêî íåëüçÿ óòâåðæäàòü, ÷òî f(A∩B)=f(A)∩f(B) è f(X\A)=f(X)\f(A).
Äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ïîñòîÿííîå îòîáðàæåíèå f : X→Y (òàêîå, ÷òî
f(x)=y
0
∈X äëÿ ëþáîãî x∈X).
Îòîáðàæåíèå íàçûâàåòñÿ âçàèìíî-îäíîçíà÷íûì, åñëè f(x)=Y è äëÿ
ëþáîãî y∈Y ìíîæåñòâî f
1
({y}) ñîñòîèò èç îäíîãî ýëåìåíòà. Íåòðóäíî
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- …
- следующая ›
- последняя »
