Машины и аппараты с импульсными энергетическими воздействиями на обрабатываемые вещества. Промтов М.А. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

сферическим волнам. Рассмотрим подробно фундаментальные функции и резонансные частоты
прямоугольного объема. Для этого необходимо найти решение уравнения Гельмгольца [30]
0
2
2
2
2
2
2
2
2
=ψ
ω
+
∂
ψ∂
+
∂
ψ∂
+
∂
ψ∂
czyx
, (2.33)
удовлетворяющего граничным условиям:
0
0
=
∂
ψ∂
−
=
=
x
lx
x
x
; 0
0
=
∂
ψ∂
−
=
=
y
ly
y
y
; 0
0
=
∂
ψ∂
−
=
=
z
lz
z
z
. (2.34)
Нетрудно показать, что такими решениями будут частные решения вида
zyx
mnpnmp
l
zp
l
yn
l
xm
A
πππ
=ψ coscoscos
. (2.35)
Здесь
mnp
ψ – потенциал скорости колебаний;
x
– координата по оси
X
; y – координата по оси Y ;
z
– координата по оси
Z
; m = 0, 1, 2, 3, …; n = 1, 2, 3, …; p = 1, 2, 3, ... – моды колебаний; c – фазовая
скорость распространения упругих волн в свободном пространстве.
Таким образом, в прямоугольном аппарате, ограниченном идеально жесткими стенками, существу-
ет дискретный спектр резонансных круговых частот, определяемых выражением
2
2
2
2
2
2
zyx
mnp
l
p
l
n
l
m
c ++π=ω
. (2.36)
Фундаментальные функции и собственные частоты цилиндрического объема находят как
решение волнового уравнения в цилиндрических координатах при граничных условиях:
(
)
0
,,,
=
∂
ϕψ∂
=ar
r
tzr
;
()
0
,,,
0
=
∂
ϕψ∂
=
=
hz
z
z
tzr
. (2.37)
В результате получают, что в цилиндрическом объеме возможны колебания, определяемые сле-
дующими функциями:
() () ()
()
l
mnpmnpmnm
l
mnp
l
mnp
t
h
z
pm
a
r
IA β+ω
πϕ
πα=ψ coscoscos ; (2.38)
() () ()
()
000
coscoscos
mnpmnpmnmmnpmnp
t
h
z
pm
a
r
IA β+ω
πϕ
πα=ψ
, (2.39)
где
(
)
l
mnp
ψ и
(
)
0
mnp
ψ – потенциал скорости симметричных и несимметричных колебаний;
mn
π
α – корни
уравнения
()
0=
′
xI
m
;
r
и ϕ – полярная и угловая координаты точек цилиндрического объема; z – коорди-
ната по оси
Z
; a – радиус цилиндра; h – его высота;
(
)
0,l
mnp
β – фазы колебаний.
Собственные круговые частоты цилиндрического объема
2
2
+
α
π=ω
h
p
a
c
mn
mnp
. (2.40)
Фундаментальные функции и собственные частоты для сферического объема можно найти, решая
уравнение Гельмгольца в сферических координатах
θ
,,r
при граничном условии 0
=
∂ψ∂
=ar
r .

Страницы