Элементы теории графов и их технические приложения. Пронькин Ю.С - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТвГТУ | Тверь

Составители: 

Рубрика: 

10
Возвращаясь к системе уравнений (3) преобразуем её следующим образом.
Прибавим к обеим частям i-го уравнения переменную
i
X
и разрешим это
уравнение относительно этой переменной:
(
)
fxbxbxbxbX
niniiiiii
−
+
+
+
++= ...1
2211
Коэффициенты при переменной
i
x
и
i
f
соответствуют элементам матрицы
A
, по которой может быть построен сигнальный граф. В отличие от нормали-
зованной записи уравнений, в нашем случае каждая переменная
i
x
выражается
через все переменные, что приводит к образованию петель с передачами (
ii
b
+1)
и передачи ветвей в ненормализованной форме проще, чем в нормализованной.
Рассмотрим общий принцип построения ненормализованного сигнального
графа. Для чего представим систему уравнений (3) в матричной
форме:
FXB =×
, условившись в верхних строках записывать уравнения, у
которых правые части отличны от нуля. Таким образом,
B
- квадратная матрица
порядка n коэффициентов b; X - матрица-столбец переменных x, имеющая n
элементов;
F
- матрица-столбец правых частей f , содержащая
m
первых
элементов, отличных от нуля.
Прибавим к обеим частям равенства
FXB
=
×
матрицу
X
.
XFXXB
+
=
+
×
Выполнив элементарное преобразование, найдем
(
)
FXEBX
n
−
×
+
=
(6)
Для нахождения матрицы
A
перепишем уравнение (6) в виде
()
()
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
×+=
−
*
0
F
X
E
EBX
mmn
m
n
(7)
В последнем выражении матрицы, входящие в выражение (6), играют роль
элементов (подматриц) матрицы (7), а матрица
*
F
имеет лишь элементы
матрицы
F
отличные от нуля.
Уравнение (7) представляет собой записанную в матричной форме систему
уравнений, разрешенных относительно каждый переменной
X , причем каждая
такая переменная выражена через все переменные x и все правые части.
Следовательно, первая матрица правой части является матрицей
A
, порядок
которой равен
N . Итак, по заданной системе линейных уравнений можно сразу
записать матрицу
A в следующем виде:
()
()
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
×+=
− mmn
m
n
E
EBA
0
(8)
Эта матрица имеет nmN += столбцов и n строк. Для того чтобы сделать данную
матрицу квадратной, нужно добавить
m нулевых строк, соответствующих числу
узлов-источников.
То же равенство (8) используется для составления графа однородной
системы, только в этом случае
0
=
m , формула упрощается и принимает вид
)
)
n
EBA
+
=
(9)
т.е. к диагональным элементам матрицы
В нужно добавить единицы.

Страницы