Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 346 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

346
Глава 13. Группы симметрий дифференциальных уравнений осесимметричной задачи
математической теории пластичности
[4, с. 73-77]. Там же приводятся инвариантные и частично-инвариантные
решения трехмерных уравнений. Групповой анализ уравнений осесиммет
ричной задачи теории идеальной пластичности в изостатических коорди
натах ранее, по-видимому, не проводился.
Методы группового анализа применительно к системам дифференци
альных уравнений в частных производных изложены в классических мо
нографиях [5], [6].
198
Теории групп Ли посвящена также монография [7].
Одной из основных задач группового анализа систем дифференциальных
уравнений является исследование действия допускаемой данной системой
дифференциальных уравнений группы на множестве решений этой систе
мы. Допускаемая группа детерминирует алгебраическую структуру на мно
жестве решений, которую можно использовать, в частности, для определе
ния тех классов решений, отыскание которых в каком-либо смысле проще
по сравнению с построением общего решения.
199
Задача о равновесии тела, напряженное состояние которого соответству
ет ребру призмы Треска, статически определима, если граничные условия
заданы в напряжениях. Уравнения равновесия могут быть формально рас
смотрены независимо от кинематических уравнений. Для ребра призмы
Треска, определяемого условием σ
1
= σ
2
= σ
3
± 2k (σ
1
, σ
2
, σ
3
главные
нормальные напряжения, k предел текучести при сдвиге), уравнения рав
новесия можно представить в форме одного векторного уравнения
gradσ
3
∓ 2kdiv(n ⊗ n)=0, (13.1.1)
где n единичное векторное поле, имеющее направление главной оси тен
зора напряжений, соответствующей наибольшему (наименьшему) собствен
ному значению σ
3
тензора напряжений. Уравнение (13.1.1) принадлежит к
гиперболическому типу.
Ключевым для анализа уравнения (13.1.1) выступает условие расслоен
ности векторного поля n в зоне пластического течения.
Для разрешимости уравнения (13.1.1) необходима расслоенность век
торного поля n,т.е.n · rotn =0, а с расслоенным полем естественным
образом связано каноническое преобразование координат (см. [8])
x
i
= f
i
(ω
1
,ω
2
,ω
3
)(i =1, 2, 3), (13.1.2)
198
Оригинальное и компактное изложение теории групп Ли читатель может найти в книге: Журавлев
В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988. С. 139-198.
199
Групповой анализ исторически развивался как реализация принципа простоты. Сущность указан
ного принципа заключается в том, что уравнения и системы дифференциальных уравнений матема
тической физики должны быть достаточно просты для того, чтобы их можно было анализировать и
решать. Групповой анализ выдвигает в качестве критерия простоты условие того, чтобы система диф
ференциальных уравнений, моделирующая тот или иной физический процесс или состояние, допускала
группу с определенными свойствами или, когда по каким-то причинам оказывается невозможным точ
но указать такие свойства, максимально широкую группу.
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы