Численные методы оптимизации. Рейзлин В.И. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

27
Будем говорить, что
функция
:
n
f R R
дважды непрерывно дифференцируема в
n
xR
, если про-
изводные
2
ij
fx
xx

,
1,i j n
, существуют и непрерывны.
Гессианом (матрицей Гессе) функции
f
в точке
x
называется матрица
размера
nn
, и ее
( , )ij
-й элемент равен
,
1,i j n
. (4.3)
Пусть
:
n
f R R
дважды непрерывно дифференцируема в открытой обла-
сти
n
DR
.
Тогда для любого
xD
и произвольного ненулевого приращения
n
pR
вторая производная по направлению
p
от функции
f
в точке
x
, определяемая
как
2
2
lim
fx
f
x p x
fx
pp
p


,
существует и для нее выполняется равенство:
2
2
T
fx
p f x p
p
. (4.4)
Пусть
A
– действительная симметричная матрица размером
nn
. Будем
говорить, что
A
положительно определена, если для любого ненулевого вектора
n
uR
выполняется неравенство
0
T
u Au
.
Матрица
A
положительно полуопределена, если
0
T
u Au
для всех
n
uR
.
Для того чтобы точка
*
x
была локальной точкой минимума
()fx
необхо-
димо выполнение равенства
*
0fx
. Достаточное условие, кроме того, тре-
бует положительной определенности
*
fx
, а необходимое – по крайней ме-
ре, положительной полуопределенности
*
fx
.
Далее будем полагать, что
()fx
,
fx
,
fx
, существуют и непре-
рывны.
Все описываемые ниже методы основаны на итерационной процедуре, ре-
ализуемой в соответствии с формулой

Страницы