ВУЗ:
Составители:
Так, например, сила тока в проводнике, согласно за-
кону Ома, линейно связана с приложенным напряжением
U
R
I ⋅=
1
где a = (1/R) , b = 0 . Измерив несколько пар значе-
ний I и U, можно построить экспериментальную прямую и
определить а. Затем, зная длину проводника - l и площадь
поперечного сечения - S , можно рассчитать удельное со-
противление материала проводника ρ = R·S / l.
Пусть было проведено n измерений величин x и y ,
связанных линейной зависимостью (9.I), и получен ряд экс-
периментальных точек:
(x
1
, y
1
), (x
2
, y
2
,), ..., (x
n
, y
n
) (9.2)
Результаты измерений, как известно, неизбежно со-
держат погрешности, поэтому экспериментальные точки не
лягут вдоль одной прямой (рис.9.2). В связи с этим возника-
ет задача: как наиболее правильно провести прямую линию
по экспериментальным точкам, т.е. как наиболее точно оп-
ределить параметры линейной зависимости a и b. Эта зада-
ча может быть решена методом наименьших квадратов,
суть которого сводится к тому, чтобы достичь минимальной
суммы квадратов отклонений экспериментальных точек от
проведенной прямой. Подробно метод наименьших квадра-
тов рассмотрен в / 2 /. Мы остановимся лишь на конечных
результатах. Эти результаты получены в предположении,
что погрешность измерения величины x много меньше по-
грешности величины y (∆x«∆y), т.к. данный случай часто
реализуется на практике.
Для нахождения параметров a и b следует предвари-
тельно вычислить следующие суммы:
∑
=
=
n
i
i
xS
1
1
;
∑
=
=
n
i
i
xS
1
2
2
;
∑
=
=
n
i
i
yS
1
3
;
∑
=
=
n
i
ii
yxS
1
4
(9.3)
После этого величины a и b определяют по форму-
лам:
2
12
314
SSn
SSSn
a
−⋅
⋅−⋅
=
,
2
12
4132
SSn
SSSS
b
−⋅
⋅
−
⋅
= . (9.4)
Среднеквадратичные отклонения величин a и b рас-
считываются следующим образом / 2 /:
2
12
2
2
SSn
n
y
a
−⋅
⋅
=
σ
σ
,
2
12
2
2
2
SSn
S
y
b
−⋅
⋅
=
σ
σ
, (9.5)
по экспериментальным точкам, т.е. как наиболее точно оп-
ределить параметры линейной зависимости a и b. Эта зада-
ча может быть решена методом наименьших квадратов,
суть которого сводится к тому, чтобы достичь минимальной
суммы квадратов отклонений экспериментальных точек от
проведенной прямой. Подробно метод наименьших квадра-
Так, например, сила тока в проводнике, согласно за- тов рассмотрен в / 2 /. Мы остановимся лишь на конечных
кону Ома, линейно связана с приложенным напряжением результатах. Эти результаты получены в предположении,
1 что погрешность измерения величины x много меньше по-
I= ⋅U
R грешности величины y (∆x«∆y), т.к. данный случай часто
где a = (1/R) , b = 0 . Измерив несколько пар значе- реализуется на практике.
ний I и U, можно построить экспериментальную прямую и Для нахождения параметров a и b следует предвари-
определить а. Затем, зная длину проводника - l и площадь тельно вычислить следующие суммы:
поперечного сечения - S , можно рассчитать удельное со- n n n n
противление материала проводника ρ = R·S / l.
S1 = ∑
i =1
xi ; S2 = ∑
i =1
xi2 ; S3 = ∑
i =1
yi ; S4 = ∑x y
i =1
i i
Пусть было проведено n измерений величин x и y , (9.3)
После этого величины a и b определяют по форму-
связанных линейной зависимостью (9.I), и получен ряд экс-
лам:
периментальных точек:
n ⋅ S 4 − S1 ⋅ S3 S 2 ⋅ S3 − S1 ⋅ S 4
(x1, y1), (x2, y2,), ..., (xn, yn) (9.2) a= , b= . (9.4)
n ⋅ S 2 − S12 n ⋅ S 2 − S12
Результаты измерений, как известно, неизбежно со- Среднеквадратичные отклонения величин a и b рас-
держат погрешности, поэтому экспериментальные точки не считываются следующим образом / 2 /:
лягут вдоль одной прямой (рис.9.2). В связи с этим возника- n ⋅ σ y2 σ y2 ⋅ S 2
σ a2 = , σ b2 = , (9.5)
ет задача: как наиболее правильно провести прямую линию n ⋅ S 2 − S12 n ⋅ S 2 − S12
