ВУЗ:
Составители:
где
∑
=
−−
−
=
n
i
iiy
axby
n
1
22
)(
2
1
σ
(9.6)
Методом наименьших квадратов могут быть обрабо-
таны и более сложные зависимости. Для этого они приво-
дятся к линейному виду (линеаризуются).
Например: определить постоянную радиоактивного
распада λ и первоначальную активность А
0
некоторого ве-
щества, если имеется набор данных (A
1
, t
1
; A
2
, t
2
; …,A
i
, t
i
; …,
A
n
, t
n
) , где A
i
- активность этого вещества в момент времени
t
i
. Известно, что изменение активности вещества в зависи-
мости от времени определяется соотношением
t
eAA
λ
−
⋅=
0
Для того, чтобы привести данное выражение к линейному
виду, прологарифмируем его
tAA
⋅
−
=
λ
0
lnln
Введём обозначения: ln
А = y ; ln А
0
= b; t = x; - λ = a.
После этого получим линейную, зависимость вида (10.1) y =
ах + b
. Далее методом наименьших квадратов определим a
и
b и с учётом введённых обозначений рассчитываем А
0
и λ.
10. ОБНАРУЖЕНИЕ ПРОМАХОВ
Для обнаружения промахов в серии измерений слу-
чайных величин существует специальная методика /I/.
Пусть проведено п измерений случайной величины x и по-
лучена серия значений:
x
1
, x
2
, …, x
n
Допустим, что среди данных значений имеется неко-
торое значение x
k
сильно отличающееся от остальных. Для
выяснения вопроса является ли x
k
промахом, поступают сле-
дующим образом.
1.Вычисляют среднее арифметическое
x
и сред-
нюю квадратичную погрешность σ из всех измерений,
включая подозрительное.
2.Вычисляют относительное уклонение подозри-
тельного измерения от среднего арифметического, выра-
женное в долях средней
квадратичной ошибки
σ
θ
k
xx−
=
_
3.В таблице 3 приведены максимально возможные
значения
θ
max
для различного числа измерений n при дове-
рительной вероятности 0,95. Если расчетное значение
θ для
где 10. ОБНАРУЖЕНИЕ ПРОМАХОВ
n
1
σ y2 =
n−2 ∑ ( y − b − ax )
i =1
i i
2
(9.6) Для обнаружения промахов в серии измерений слу-
Методом наименьших квадратов могут быть обрабо- чайных величин существует специальная методика /I/.
таны и более сложные зависимости. Для этого они приво- Пусть проведено п измерений случайной величины x и по-
дятся к линейному виду (линеаризуются). лучена серия значений:
Например: определить постоянную радиоактивного x1, x2, …, xn
распада λ и первоначальную активность А0 некоторого ве- Допустим, что среди данных значений имеется неко-
щества, если имеется набор данных (A1, t1; A2, t2; …,Ai, ti; …, торое значение xk сильно отличающееся от остальных. Для
An, tn) , где Ai - активность этого вещества в момент времени выяснения вопроса является ли xk промахом, поступают сле-
ti. Известно, что изменение активности вещества в зависи- дующим образом.
мости от времени определяется соотношением 1.Вычисляют среднее арифметическое x и сред-
A = A0 ⋅ e − λt нюю квадратичную погрешность σ из всех измерений,
Для того, чтобы привести данное выражение к линейному включая подозрительное.
виду, прологарифмируем его ln A = ln A0 − λ ⋅ t 2.Вычисляют относительное уклонение подозри-
Введём обозначения: ln А = y ; ln А0 = b; t = x; - λ = a.
тельного измерения от среднего арифметического, выра-
После этого получим линейную, зависимость вида (10.1) y =
женное в долях средней
ах + b. Далее методом наименьших квадратов определим a
квадратичной ошибки
и b и с учётом введённых обозначений рассчитываем А0 и λ.
_
x− xk
θ=
σ
3.В таблице 3 приведены максимально возможные
значения θmax для различного числа измерений n при дове-
рительной вероятности 0,95. Если расчетное значение θ для
