Методы решения задач математической физики. Рындин Е.А. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТТИ ЮФУ | Таганрог

Составители: 

Рубрика: 

37
Такую операцию перестроения часто называют флипом. Она позволяет по-
лучать триангуляцию Делоне, построив на начальном этапе некоторую произ-
вольную триангуляцию, а затем последовательно улучшая ее в смысле Делоне
[9].
При проверке условий Делоне часто используют следующие теоремы [9].
Теорема 1. Триангуляция Делоне обладает максимальной суммой мини-
мальных углов всех своих треугольников среди всех возможных триангуляций.
Теорема 2. Триангуляция Делоне обладает минимальной суммой радиусов
окружностей, описанных около треугольников, среди всех возможных триангу-
ляций.
3.2.2. Метод интегральных тождеств
Дискретизация дифференциальных уравнений в частных производных на
триангулярных координатных сетках может быть проведена с использованием
метода интегральных тождеств [2]. Суть данного метода состоит в следующем.
Для дискретизации уравнений математической физики прежде всего в со-
ответствии с условиями задачи строится множество точек координатной сетки,
проводится триангуляция Делоне и разбиение Дирихле. Дальнейшие шаги рас-
смотрим на примере задачи о распределении электростатического поля в облас-
ти Θ объемом V, ограниченной замкнутой поверхностью Ω площадью S, непро-
водящей среды при наличии электрических зарядов, описываемой уравнениями
(46) – (48).
Интегрируя обе части уравнения (46) по объему V, получим
0
),,(
1
))(),,((
0
=+
∫∫∫∫∫∫
⋅
VV
dVzyxdVgradzyxdiv
ρ
ε
ϕε
, (160)
или в операторной форме
0
),,(
1
)),,((
0
=+
∫∫∫∫∫∫
∇⋅∇
VV
dVzyxdVzyx
ρ
ε
ϕε
. (161)
Применив теорему Остроградского-Гаусса (10), перепишем уравнение
(161) в виде
0
),,(
1
),,(
0
=+
∫∫∫∫∫
∇⋅
VS
dVzyxdSzyx
ρ
ε
ϕε
. (162)
Уравнение (162) представляет собой интегродифференциальную форму
уравнения (48) и фактически выражает законы сохранения для области решения
задачи.
Аппроксимируя уравнение (162) для некоторой внутренней ячейки Дирих-
ле Θ
0
с внешней границей D, построенной вокруг точки p
0
сетки (рис. 13) в
предположении, что все переменные в пределах данной ячейки Дирихле неиз-
менны и триангулярная координатная сетка двухмерна (все ячейки разбиения
Дирихле представляют собой призмы равной высоты H, которая может быть
вынесена за знаки интегралов), получим:

Страницы