Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 123 стр.

§3. ëÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ÐÒÅÄÉËÁÔÏ×                              123

ÔÏÌØËÏ ÆÏÒÍÕÌÁ ψ ÉÓÔÉÎÎÁ.
   éÓÐÏÌØÚÕÑ ÐÅÒ×ÏÅ ÐÒÁ×ÉÌÏ âÅÒÎÁÊÓÁ, ÌÅÇËÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÄÏÐÕÓÔÉÍÏÓÔØ
ÐÒÁ×ÉÌÁ ÏÂÏÂÝÅÎÉÑ
                               ϕ
                                      (Gen)
                              ∀ξ ϕ
(ÅÓÌÉ × ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÉ ÐÒÅÄÉËÁÔÏ× ×Ù×ÏÄÉÍÁ ÆÏÒÍÕÌÁ Ó×ÅÒÈÕ ÏÔ ÞÅÒÔÙ, ÔÏ ×Ù-
×ÏÄÉÍÁ É ÆÏÒÍÕÌÁ ÓÎÉÚÕ). ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ×ÏÚØÍ¾Í ËÁËÕÀ-ÎÉÂÕÄØ ×Ù×ÏÄÉÍÕÀ
ÆÏÒÍÕÌÕ ψ ÂÅÚ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏ× (ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÁËÓÉÏÍÕ, × ËÏÔÏÒÏÊ ×ÍÅÓÔÏ A, B É C
ÐÏÄÓÔÁ×ÌÅÎÙ ÚÁÍËÎÕÔÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ). òÁÚ ×Ù×ÏÄÉÍÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ϕ, ÔÏ ×Ù×ÏÄÉÍÁ
É ÆÏÒÍÕÌÁ ψ → ϕ (ÐÏÓËÏÌØËÕ ϕ → (ψ → ϕ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÅÊ É ÄÁÖÅ
ÁËÓÉÏÍÏÊ). ôÅÐÅÒØ ÐÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ âÅÒÎÁÊÓÁ ×Ù×ÏÄÉÍ ψ → ∀ξ ϕ É ÐÒÉÍÅÎÑÅÍ
ÐÒÁ×ÉÌÏ MP Ë ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÅ É Ë ÆÏÒÍÕÌÅ ψ.
   ðÒÁ×ÉÌÏ (Gen) (ÏÔ Generalization ¡ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅ) ËÏÄÉÆÉÃÉÒÕÅÔ ÓÔÁÎÄÁÒÔ-
ÎÕÀ ÐÒÁËÔÉËÕ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ: ÍÙ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÍ ËÁËÏÅ-ÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ϕ ÓÏ Ó×Ï-
ÂÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ξ, ÐÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ÚÁËÌÀÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÄÏËÁÚÁÌÉ ∀ξ ϕ, ÔÁË ËÁË
ξ ÂÙÌÏ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ.
   ÷ÔÏÒÏÅ ÐÒÁ×ÉÌÏ âÅÒÎÁÊÓÁ ÔÁËÖÅ ×ÐÏÌÎÅ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ: ÖÅÌÁÑ ÄÏËÁÚÁÔØ ψ
× ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÉ ∃ξ ϕ, ÍÙ ÇÏ×ÏÒÉÍ: ÐÕÓÔØ ÔÁËÏÅ ξ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ×ÏÚØÍ¾Í ÅÇÏ
É ÄÏËÁÖÅÍ ψ (ÔÏ ÅÓÔØ ÄÏËÁÖÅÍ ϕ → ψ ÓÏ Ó×ÏÂÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ξ).
  úÁÄÁÞÁ 157. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ËÌÁÓÓ ×Ù×ÏÄÉÍÙÈ × ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÉ ÐÒÅÄÉËÁ-
ÔÏ× ÆÏÒÍÕÌ ÎÅ ÉÚÍÅÎÉÔÓÑ, ÅÓÌÉ ÍÙ ×ÍÅÓÔÏ ÐÒÁ×ÉÌ âÅÒÎÁÊÓÁ ÄÏÂÁ×ÉÍ ÔÕÄÁ
ÐÒÁ×ÉÌÏ ÏÂÏÂÝÅÎÉÑ É Ä×Å ÁËÓÉÏÍÙ
                        ∀ξ (ψ → ϕ) → (ψ → ∀ξ ϕ)
É
                        ∀ξ (ϕ → ψ) → (∃ξ ϕ → ψ)
(× ËÏÔÏÒÙÈ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ, ÞÔÏÂÙ ÐÅÒÅÍÅÎÎÁÑ ξ ÎÅ ÂÙÌÁ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏÍ ÆÏÒÍÕÌÙ
ψ).
   ëÁË É × ÓÌÕÞÁÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ, ÐÅÒÅÄ ÎÁÍÉ ÓÔÏÑÔ Ä×Å ÚÁÄÁ-
ÞÉ: ÎÁÄÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ÐÒÅÄÉËÁÔÏ× (×ÓÑËÁÑ ×Ù×ÏÄÉÍÁÑ
ÆÏÒÍÕÌÁ ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÁ) É ÅÇÏ ÐÏÌÎÏÔÕ (×ÓÑËÁÑ ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ ×Ù×Ï-
ÄÉÍÁ). üÔÉÍ ÍÙ É ÚÁÊ;ÍÓÑ × ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÒÁÚÄÅÌÁÈ.


    §3. ëÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ÐÒÅÄÉËÁÔÏ×
  ôÅÏÒÅÍÁ 38. ÷ÓÑËÁÑ ×Ù×ÏÄÉÍÁÑ × ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÉ ÐÒÅÄÉËÁÔÏ× ÆÏÒÍÕÌÁ
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÏÊ.