Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 125 стр.

§3. ëÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ÐÒÅÄÉËÁÔÏ×                                 125

ÏÃÅÎËÅ, ÐÒÉ ËÏÔÏÒÏÊ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ξ ÅÓÔØ ÜÌÅÍÅÎÔ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÉ,
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ËÏÎÓÔÁÎÔÅ c.
   äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÌÅÍÍÙ ÐÒÏ×ÅÄ¾Í ÉÎÄÕËÃÉÅÊ ÐÏ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÀ ÆÏÒÍÕÌÙ ϕ.
äÌÑ ÁÔÏÍÁÒÎÙÈ ÆÏÒÍÕÌ ÜÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÑÍÙÍ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅÍ ÌÅÍ-
ÍÙ 1. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÉÚ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÏÒÍÕÌÙ É ÉÚ
ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ ÑÓÎÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÌÅÍÍÙ 2 ×ÅÒÎÏ ÄÌÑ
Ä×ÕÈ ÆÏÒÍÕÌ ϕ1 É ϕ2, ÔÏ ÏÎÏ ×ÅÒÎÏ ÄÌÑ ÉÈ ÌÀÂÏÊ ÉÈ ÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ËÏÍÂÉÎÁÃÉÉ
(ËÏÎßÀÎËÃÉÉ, ÄÉÚßÀÎËÃÉÉ É ÉÍÐÌÉËÁÃÉÉ); ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÄÌÑ ÏÔÒÉÃÁÎÉÑ.
   åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ ¡ ÆÏÒÍÕÌÁ, ÎÁÞÉÎÁÀÝÁÑÓÑ Ó
Ë×ÁÎÔÏÒÁ. úÄÅÓØ ÎÁÛÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ×ÓÔÕÐÁÀÔ × ÉÇÒÕ. ðÕÓÔØ ϕ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
∀η ψ. åÓÔØ Ä×Á ÐÒÉÎÃÉÐÉÁÌØÎÏ ÒÁÚÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑ: ÌÉÂÏ ξ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏÍ
ÆÏÒÍÕÌÙ ϕ (Ô. Å. ÆÏÒÍÕÌÙ ∀η ψ), ÌÉÂÏ ÎÅÔ. ÷Ï ×ÔÏÒÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ϕ(t/ξ) ÓÏ×ÐÁÄÁ-
ÅÔ Ó ϕ, Á ÉÚÍÅÎÅÎÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ξ × ÏÃÅÎËÅ π ÎÅ ×ÌÉÑÅÔ ÎÁ ÚÎÁÞÅÎÉÅ
ÆÏÒÍÕÌÙ ϕ, ÔÁË ÞÔÏ ×Ó¾ ÓÈÏÄÉÔÓÑ. ïÓÔÁÌÏÓØ ÒÁÚÏÂÒÁÔØ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ ξ Ñ×ÌÑ-
ÅÔÓÑ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏÍ ÆÏÒÍÕÌÙ ∀η ψ (ÏÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ξ ÎÅ ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó η).
ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ËÏÒÒÅËÔÎÏÊ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ, × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÐÅÒÅÍÅÎÎÁÑ η ÎÅ
×ÈÏÄÉÔ × ÔÅÒÍ t É ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ ψ(t/ξ) ËÏÒÒÅËÔÎÁ. ôÏÇÄÁ
          [(∀η ψ)(t/ξ)](π) = [∀η (ψ(t/ξ))](π) =
                  = ∧m [ψ(t/ξ)](π + (η 7→ m)) =
                  = ∧m [ψ](π + (η 7→ m) + (ξ 7→ [t](π + (η 7→ m)))).
íÙ ×ÏÓÐÏÌØÚÏ×ÁÌÉÓØ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ, ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ
(∧m ÏÚÎÁÞÁÅÔ ËÏÎßÀÎËÃÉÀ ÐÏ ×ÓÅÍ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍ ÉÚ ÎÏÓÉÔÅÌÑ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÉ)
É ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÅÍ ÉÎÄÕËÃÉÉ ÄÌÑ ÆÏÒÍÕÌÙ ψ. ôÅÐÅÒØ ÎÁÄÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ
ÐÅÒÅÍÅÎÎÁÑ η ÎÅ ×ÈÏÄÉÔ × t ÐÏ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÀ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔÉ, É ÐÏÔÏÍÕ ÚÎÁ-
ÞÅÎÉÅ ÔÅÒÍÁ t ÎÅ ÉÚÍÅÎÉÔÓÑ, ÅÓÌÉ ÚÁÍÅÎÉÔØ π + (η 7→ m) ÎÁ π. äÁÌÅÅ, ξ É η
ÒÁÚÌÉÞÎÙ, ÐÏÜÔÏÍÕ Ä×Á ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ × π ÍÏÖÎÏ ÐÅÒÅÓÔÁ×ÉÔØ ÍÅÓÔÁÍÉ. éÓÐÏÌØ-
ÚÕÑ ÜÔÉ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑ, ÍÏÖÎÏ ÐÒÏÄÏÌÖÉÔØ ÃÅÐÏÞËÕ ÒÁ×ÅÎÓÔ×:
                  = ∧m [ψ](π + (ξ 7→ [t](π)) + (η 7→ m)) =
                  = [∀η ψ](π + (ξ 7→ [t](π))) =
                  = [ϕ](π + (ξ 7→ [t](π))),
ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ. óÌÕÞÁÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ×ÉÄÁ ∃ξ ψ ÒÁÚÂÉÒÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ,
ÎÁÄÏ ÔÏÌØËÏ ∧m ÚÁÍÅÎÉÔØ ÎÁ ∨m . ìÅÍÍÁ 2 ÄÏËÁÚÁÎÁ.
  ôÅÐÅÒØ ÕÖÅ ÑÓÎÏ, ÐÏÞÅÍÕ ÆÏÒÍÕÌÁ
                               ∀ξ ϕ → ϕ(t/ξ)
ÂÕÄÅÔ ÉÓÔÉÎÎÁ ÎÁ ÌÀÂÏÊ ÏÃÅÎËÅ π (ÅÓÌÉ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ ËÏÒÒÅËÔÎÁ). ÷ ÓÁÍÏÍ
ÄÅÌÅ, ÅÓÌÉ ÌÅ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÉÍÐÌÉËÁÃÉÉ ÉÓÔÉÎÎÁ ÎÁ π, ÔÏ ϕ ÂÕÄÅÔ ÉÓÔÉÎÎÁ ÎÁ
ÌÀÂÏÊ ÏÃÅÎËÅ π 0 , ËÏÔÏÒÁÑ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ π ÌÉÛØ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ξ. ÷