Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 126 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

126 çÌÁ×Á VI. éÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÐÒÅÄÉËÁÔÏ×
ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ϕ ÂÕÄÅÔ ÉÓÔÉÎÎÁ É ÎÁ ÏÃÅÎËÅ π + (ξ 7→ [t](π)), ÞÔÏ ÐÏ ÔÏÌØËÏ ÞÔÏ
ÄÏËÁÚÁÎÎÏÊ ÌÅÍÍÅ 2 ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÐÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÉÍÐÌÉËÁÃÉÉ ÉÓÔÉÎÎÁ ÎÁ π.
ïÂÝÅÚÎÁÞÉÍÏÓÔØ ÆÏÒÍÕÌÙ
ϕ(t/ξ) → ∃ξ ϕ
ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ.
îÁÍ ÏÓÔÁÌÏÓØ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÐÒÁ×ÉÌÁ ×Ù×ÏÄÁ ÓÏÈÒÁÎÑÀÔ ÏÂÝÅÚÎÁÞÉ-
ÍÏÓÔØ. äÌÑ ÐÒÁ×ÉÌÁ MP ÜÔÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ (ËÁË É × ÓÌÕÞÁÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ×ÙÓËÁ-
ÚÙ×ÁÎÉÊ). ðÒÏ×ÅÒÉÍ ÜÔÏ ÄÌÑ ÐÒÁ×ÉÌ âÅÒÎÁÊÓÁ. üÔÏ ÓÏ×ÓÅÍ ÎÅÓÌÏÖÎÏ, ÔÁË
ËÁË ÚÄÅÓØ ÎÅÔ ÒÅÞÉ ÎÉ Ï ËÁËÉÈ ËÏÒÒÅËÔÎÙÈ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁÈ.
ðÕÓÔØ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÆÏÒÍÕÌÁ ψ → ϕ ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÁ É ÐÅÒÅÍÅÎÎÁÑ ξ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔ-
ÓÑ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏÍ ÆÏÒÍÕÌÙ ψ. ðÒÏ×ÅÒÉÍ, ÞÔÏ ÆÏÒÍÕÌÁ ψ → ∀ξ ϕ ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÁ,
ÔÏ ÅÓÔØ ÉÓÔÉÎÎÁ ÎÁ ÌÀÂÏÊ ÏÃÅÎËÅ π (× ÌÀÂÏÊ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÉ). ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅ-
ÌÅ, ÐÕÓÔØ ψ ÉÓÔÉÎÎÁ ÎÁ ÏÃÅÎËÅ π. ôÏÇÄÁ ÏÎÁ ÉÓÔÉÎÎÁ É ÎÁ ÌÀÂÏÊ ÏÃÅÎËÅ π
0
,
ÏÔÌÉÞÁÀÝÅÊÓÑ ÏÔ π ÔÏÌØËÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ξ (ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ξ
ÎÅ ×ÌÉÑÅÔ ÎÁ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ψ, ÔÁË ËÁË ξ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏÍ). úÎÁÞÉÔ, É
ÆÏÒÍÕÌÁ ϕ ÉÓÔÉÎÎÁ ÎÁ ÌÀÂÏÊ ÔÁËÏÊ ÏÃÅÎËÅ π
0
. á ÜÔÏ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÏÚÎÁÞÁÅÔ,
ÞÔÏ ∀ξ ϕ ÉÓÔÉÎÎÁ ÎÁ ÏÃÅÎËÅ π, ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ.
äÌÑ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÒÁ×ÉÌÁ âÅÒÎÁÊÓÁ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ. ðÕÓÔØ ÆÏÒÍÕ-
ÌÁ ϕ → ψ ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÁ É ÐÅÒÅÍÅÎÎÁÑ ξ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏÍ ÆÏÒÍÕÌÙ ψ.
ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÆÏÒÍÕÌÁ ∃ξ ϕ → ψ ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÁ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÐÕÓÔØ Å¾ ÌÅ×ÁÑ
ÞÁÓÔØ ÉÓÔÉÎÎÁ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏÃÅÎËÅ π. ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÆÏÒÍÕ-
ÌÙ, ÎÁÞÉÎÁÀÝÅÊÓÑ Ó Ë×ÁÎÔÏÒÁ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ, ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÎÁÊľÔÓÑ
ÏÃÅÎËÁ π
0
, ËÏÔÏÒÁÑ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ π ÔÏÌØËÏ ÎÁ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ξ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ
[ϕ](π
0
) ÉÓÔÉÎÎÏ. ôÏÇÄÁ É [ψ](π
0
) ÉÓÔÉÎÎÏ. îÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÁÑ ξ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÁ-
ÒÁÍÅÔÒÏÍ ÆÏÒÍÕÌÙ ψ, ÔÁË ÞÔÏ [ψ](π
0
) = [ψ](π). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÆÏÒÍÕÌÁ ψ
ÉÓÔÉÎÎÁ ÎÁ ÏÃÅÎËÅ π, ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ.
§4. ÷Ù×ÏÄÙ × ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÉ ÐÒÅÄÉËÁÔÏ×
4.1. ðÒÉÍÅÒÙ ×Ù×ÏÄÉÍÙÈ ÆÏÒÍÕÌ
ðÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÔÅÏÒÅÍÕ ç¾ÄÅÌÑ Ï ÐÏÌÎÏÔÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ÐÒÅÄÉËÁ-
ÔÏ×, ÍÙ ÄÏÌÖÎÙ ÐÒÉÏÂÒÅÓÔÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÏÐÙÔ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ×Ù×ÏÄÏ× × ÜÔÏÍ
ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÉ.
• ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÏÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÓÏÓÌÁÔØÓÑ ÎÁ ÔÅÏÒÅÍÕ Ï ÐÏÌ-
ÎÏÔÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ É ÓÞÉÔÁÔØ ×Ù×ÏÄÉÍÙÍ ÌÀÂÏÊ ÞÁÓÔÎÙÊ
ÓÌÕÞÁÊ ÐÒÏÐÏÚÉÃÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÉ ÓÉÌØÎÏ ÏÂÌÅÇÞÁÅÔ ÖÉÚÎØ. îÁ-
ÐÒÉÍÅÒ, ÐÕÓÔØ ÍÙ ×Ù×ÅÌÉ Ä×Å ÆÏÒÍÕÌÙ ϕ É ψ É ÈÏÔÉÍ ÔÅÐÅÒØ ×Ù×Å-
ÓÔÉ ÆÏÒÍÕÌÕ (ϕ ∧ ψ). üÔÏ ÐÒÏÓÔÏ: ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÆÏÒÍÕÌÁ (ϕ → (ψ →
126                                    çÌÁ×Á VI. éÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÐÒÅÄÉËÁÔÏ×

ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ϕ ÂÕÄÅÔ ÉÓÔÉÎÎÁ É ÎÁ ÏÃÅÎËÅ π + (ξ 7→ [t](π)), ÞÔÏ ÐÏ ÔÏÌØËÏ ÞÔÏ
ÄÏËÁÚÁÎÎÏÊ ÌÅÍÍÅ 2 ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÐÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÉÍÐÌÉËÁÃÉÉ ÉÓÔÉÎÎÁ ÎÁ π.
   ïÂÝÅÚÎÁÞÉÍÏÓÔØ ÆÏÒÍÕÌÙ
                              ϕ(t/ξ) → ∃ξ ϕ
ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ.
   îÁÍ ÏÓÔÁÌÏÓØ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÐÒÁ×ÉÌÁ ×Ù×ÏÄÁ ÓÏÈÒÁÎÑÀÔ ÏÂÝÅÚÎÁÞÉ-
ÍÏÓÔØ. äÌÑ ÐÒÁ×ÉÌÁ MP ÜÔÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ (ËÁË É × ÓÌÕÞÁÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ×ÙÓËÁ-
ÚÙ×ÁÎÉÊ). ðÒÏ×ÅÒÉÍ ÜÔÏ ÄÌÑ ÐÒÁ×ÉÌ âÅÒÎÁÊÓÁ. üÔÏ ÓÏ×ÓÅÍ ÎÅÓÌÏÖÎÏ, ÔÁË
ËÁË ÚÄÅÓØ ÎÅÔ ÒÅÞÉ ÎÉ Ï ËÁËÉÈ ËÏÒÒÅËÔÎÙÈ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁÈ.
   ðÕÓÔØ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÆÏÒÍÕÌÁ ψ → ϕ ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÁ É ÐÅÒÅÍÅÎÎÁÑ ξ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔ-
ÓÑ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏÍ ÆÏÒÍÕÌÙ ψ. ðÒÏ×ÅÒÉÍ, ÞÔÏ ÆÏÒÍÕÌÁ ψ → ∀ξ ϕ ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÁ,
ÔÏ ÅÓÔØ ÉÓÔÉÎÎÁ ÎÁ ÌÀÂÏÊ ÏÃÅÎËÅ π (× ÌÀÂÏÊ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÉ). ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅ-
ÌÅ, ÐÕÓÔØ ψ ÉÓÔÉÎÎÁ ÎÁ ÏÃÅÎËÅ π. ôÏÇÄÁ ÏÎÁ ÉÓÔÉÎÎÁ É ÎÁ ÌÀÂÏÊ ÏÃÅÎËÅ π 0 ,
ÏÔÌÉÞÁÀÝÅÊÓÑ ÏÔ π ÔÏÌØËÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ξ (ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ξ
ÎÅ ×ÌÉÑÅÔ ÎÁ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ψ, ÔÁË ËÁË ξ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏÍ). úÎÁÞÉÔ, É
ÆÏÒÍÕÌÁ ϕ ÉÓÔÉÎÎÁ ÎÁ ÌÀÂÏÊ ÔÁËÏÊ ÏÃÅÎËÅ π 0 . á ÜÔÏ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÏÚÎÁÞÁÅÔ,
ÞÔÏ ∀ξ ϕ ÉÓÔÉÎÎÁ ÎÁ ÏÃÅÎËÅ π, ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ.
   äÌÑ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÒÁ×ÉÌÁ âÅÒÎÁÊÓÁ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ. ðÕÓÔØ ÆÏÒÍÕ-
ÌÁ ϕ → ψ ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÁ É ÐÅÒÅÍÅÎÎÁÑ ξ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏÍ ÆÏÒÍÕÌÙ ψ.
ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÆÏÒÍÕÌÁ ∃ξ ϕ → ψ ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÁ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÐÕÓÔØ Å¾ ÌÅ×ÁÑ
ÞÁÓÔØ ÉÓÔÉÎÎÁ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏÃÅÎËÅ π. ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÆÏÒÍÕ-
ÌÙ, ÎÁÞÉÎÁÀÝÅÊÓÑ Ó Ë×ÁÎÔÏÒÁ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ, ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÎÁÊľÔÓÑ
ÏÃÅÎËÁ π 0 , ËÏÔÏÒÁÑ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ π ÔÏÌØËÏ ÎÁ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ξ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ
[ϕ](π 0) ÉÓÔÉÎÎÏ. ôÏÇÄÁ É [ψ](π 0) ÉÓÔÉÎÎÏ. îÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÁÑ ξ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÁ-
ÒÁÍÅÔÒÏÍ ÆÏÒÍÕÌÙ ψ, ÔÁË ÞÔÏ [ψ](π 0) = [ψ](π). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÆÏÒÍÕÌÁ ψ
ÉÓÔÉÎÎÁ ÎÁ ÏÃÅÎËÅ π, ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ.


  §4. ÷Ù×ÏÄÙ × ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÉ ÐÒÅÄÉËÁÔÏ×
4.1. ðÒÉÍÅÒÙ ×Ù×ÏÄÉÍÙÈ ÆÏÒÍÕÌ

   ðÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÔÅÏÒÅÍÕ ç¾ÄÅÌÑ Ï ÐÏÌÎÏÔÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ÐÒÅÄÉËÁ-
ÔÏ×, ÍÙ ÄÏÌÖÎÙ ÐÒÉÏÂÒÅÓÔÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÏÐÙÔ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ×Ù×ÏÄÏ× × ÜÔÏÍ
ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÉ.
    • ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÏÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÓÏÓÌÁÔØÓÑ ÎÁ ÔÅÏÒÅÍÕ Ï ÐÏÌ-
      ÎÏÔÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ É ÓÞÉÔÁÔØ ×Ù×ÏÄÉÍÙÍ ÌÀÂÏÊ ÞÁÓÔÎÙÊ
      ÓÌÕÞÁÊ ÐÒÏÐÏÚÉÃÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÉ ÓÉÌØÎÏ ÏÂÌÅÇÞÁÅÔ ÖÉÚÎØ. îÁ-
      ÐÒÉÍÅÒ, ÐÕÓÔØ ÍÙ ×Ù×ÅÌÉ Ä×Å ÆÏÒÍÕÌÙ ϕ É ψ É ÈÏÔÉÍ ÔÅÐÅÒØ ×Ù×Å-
      ÓÔÉ ÆÏÒÍÕÌÕ (ϕ ∧ ψ). üÔÏ ÐÒÏÓÔÏ: ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÆÏÒÍÕÌÁ (ϕ → (ψ →

Страницы