Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 129 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§4. ÷Ù×ÏÄÙ × ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÉ ÐÒÅÄÉËÁÔÏ× 129
ÎÁÒÁ×ÎÅ Ó ÁËÓÉÏÍÁÍÉ ÂÅÚÏ ×ÓÑËÉÈ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ, ÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, ÁÎÁÌÏÇÉÞ-
ÎÏÅ ÌÅÍÍÅ Ï ÄÅÄÕËÃÉÉ, ÂÕÄÅÔ ÎÅ×ÅÒÎÙÍ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÉÚ ÆÏÒÍÕÌÙ A(x) ÍÏÖÎÏ
×Ù×ÅÓÔÉ ÆÏÒÍÕÌÕ ∀x A(x) (ËÁË ÍÙ ×ÉÄÅÌÉ ÎÁ Ó. 123 ÐÒÉ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÉ ÐÒÁ-
×ÉÌÁ ÏÂÏÂÝÅÎÉÑ). îÏ ÉÍÐÌÉËÁÃÉÑ A(x) → ∀x A(x) ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×Ù×ÏÄÉÍÏÊ
(ÐÏÓËÏÌØËÕ ÎÅ ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÁ).
ðÏÜÔÏÍÕ ÍÙ ÏÇÒÁÎÉÞÉÍÓÑ ÓÌÕÞÁÅÍ, ËÏÇÄÁ ×ÓÅ ÐÏÓÙÌËÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÚÁÍËÎÕ-
ÔÙÍÉ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ. ðÕÓÔØ • ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ÆÏÒÍÕÌ
ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÊ ÎÁÍÉ ÓÉÇÎÁÔÕÒÙ σ. (ôÁËÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÔÅÏÒÉÑ-
ÍÉ × ÓÉÇÎÁÔÕÒÅ σ.) çÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÆÏÒÍÕÌÁ A ×Ù×ÏÄÉÍÁ ÉÚ •, ÅÓÌÉ Å¾ ÍÏÖÎÏ
×Ù×ÅÓÔÉ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÎÁÒÁ×ÎÅ Ó ÁËÓÉÏÍÁÍÉ ÆÏÒÍÕÌÙ ÉÚ •. ëÁË É ÄÌÑ ÉÓÞÉÓÌÅ-
ÎÉÑ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ, ÍÙ ÐÉÛÅÍ • ` A. ÷Ù×ÏÄÉÍÙÅ ÉÚ • ÆÏÒÍÕÌÙ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ
ÔÁËÖÅ ÔÅÏÒÅÍÁÍÉ ÔÅÏÒÉÉ •.
ìÅÍÍÁ Ï ÄÅÄÕËÃÉÉ ÄÌÑ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ÐÒÅÄÉËÁÔÏ×. ðÕÓÔØ • ¡ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÁ-
ÍËÎÕÔÙÈ ÆÏÒÍÕÌ, Á A ¡ ÚÁÍËÎÕÔÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ. ôÏÇÄÁ • ` (A → B) ÔÏÇÄÁ É
ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ • ∪ {A} ` B.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÐÒÏÈÏÄÉÔ ÐÏ ÔÏÊ ÖÅ ÓÈÅÍÅ, ÞÔÏ É ÄÌÑ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ×Ù-
ÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ (Ó. 87): Ë ÆÏÒÍÕÌÁÍ C
1
, . . . , C
n
, ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÍ ×Ù×ÏÄ C
n
= B ÉÚ
• ∪ {A}, ÍÙ ÐÒÉÐÉÓÙ×ÁÅÍ ÐÏÓÙÌËÕ A É ÄÏÐÏÌÎÑÅÍ ÐÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ÐÏÓÌÅÄÏ×Á-
ÔÅÌØÎÏÓÔØ
(A → C
1
), . . . , (A → C
n
)
ÄÏ ×Ù×ÏÄÁ ÉÚ •. ïÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÐÒÏÐÏÚÉÃÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÓÌÕÞÁÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ × ×Ù×ÏÄÅ
ÍÏÇÕÔ ×ÓÔÒÅÞÁÔØÓÑ ÐÒÁ×ÉÌÁ âÅÒÎÁÊÓÁ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÏÔ ×Ù×ÏÄÉÍÏÓÔÉ ÆÏÒÍÕÌÙ
A → (ψ → ϕ)
ÎÁÄÏ ÐÅÒÅÊÔÉ Ë ×Ù×ÏÄÉÍÏÓÔÉ ÆÏÒÍÕÌÙ
A → (ψ → ∀ξ ϕ)
(× ËÏÔÏÒÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÁÑ ξ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏÍ ÆÏÒÍÕÌÙ ψ). üÔÏ ÎÅÓÌÏÖÎÏ
ÓÄÅÌÁÔØ, ÅÓÌÉ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ × ÓÉÌÕ ÐÒÏÐÏÚÉÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÊ ÍÏÖÎÏ
ÐÅÒÅÊÔÉ ÏÔ A → (ψ → ϕ) Ë (A ∧ ψ) → ϕ, ÚÁÔÅÍ ÐÒÉÍÅÎÉÔØ ÐÒÁ×ÉÌÏ âÅÒ-
ÎÁÊÓÁ (ÜÔÏ ÚÁËÏÎÎÏ, ÔÁË ËÁË ÐÅÒÅÍÅÎÎÁÑ ξ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏÍ ÆÏÒÍÕÌÙ
ψ, Á ÆÏÒÍÕÌÁ A ÚÁÍËÎÕÔÁ ÐÏ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÀ). ðÏÌÕÞÉÔÓÑ ×Ù×ÏÄÉÍÁÑ ÉÚ •
ÆÏÒÍÕÌÁ
(A ∧ ψ) → ∀ξ ϕ,
É ÏÓÔÁ¾ÔÓÑ ×ÅÒÎÕÔØ A ÉÚ ËÏÎßÀÎËÃÉÉ × ÐÏÓÙÌËÕ.
óÈÏÄÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ É ×ÔÏÒÏÅ ÐÒÁ×ÉÌÏ âÅÒÎÁÊÓÁ. åÓÌÉ ×Ù-
×ÏÄÉÍÁ ÆÏÒÍÕÌÁ A → (ϕ → ψ), ÔÏ × ÓÉÌÕ ÐÒÏÐÏÚÉÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÊ
×Ù×ÏÄÉÍÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ϕ → (A → ψ), Ë ËÏÔÏÒÏÊ ÍÏÖÎÏ ÐÒÉÍÅÎÉÔØ ÐÒÁ×ÉÌÏ âÅÒ-
ÎÁÊÓÁ É ÐÏÌÕÞÉÔØ ∃ξ ϕ → (A → ψ), ÐÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ×ÅÒÎÕÔØ A ÎÁÚÁÄ Ó ÐÏÍÏÝØÀ
ÐÒÏÐÏÚÉÃÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÉ. ìÅÍÍÁ Ï ÄÅÄÕËÃÉÉ ÄÏËÁÚÁÎÁ.
§4. ÷Ù×ÏÄÙ × ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÉ ÐÒÅÄÉËÁÔÏ×                                   129

ÎÁÒÁ×ÎÅ Ó ÁËÓÉÏÍÁÍÉ ÂÅÚÏ ×ÓÑËÉÈ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ, ÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, ÁÎÁÌÏÇÉÞ-
ÎÏÅ ÌÅÍÍÅ Ï ÄÅÄÕËÃÉÉ, ÂÕÄÅÔ ÎÅ×ÅÒÎÙÍ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÉÚ ÆÏÒÍÕÌÙ A(x) ÍÏÖÎÏ
×Ù×ÅÓÔÉ ÆÏÒÍÕÌÕ ∀x A(x) (ËÁË ÍÙ ×ÉÄÅÌÉ ÎÁ Ó. 123 ÐÒÉ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÉ ÐÒÁ-
×ÉÌÁ ÏÂÏÂÝÅÎÉÑ). îÏ ÉÍÐÌÉËÁÃÉÑ A(x) → ∀x A(x) ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×Ù×ÏÄÉÍÏÊ
(ÐÏÓËÏÌØËÕ ÎÅ ÏÂÝÅÚÎÁÞÉÍÁ).
   ðÏÜÔÏÍÕ ÍÙ ÏÇÒÁÎÉÞÉÍÓÑ ÓÌÕÞÁÅÍ, ËÏÇÄÁ ×ÓÅ ÐÏÓÙÌËÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÚÁÍËÎÕ-
ÔÙÍÉ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ. ðÕÓÔØ • ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ÆÏÒÍÕÌ
ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÊ ÎÁÍÉ ÓÉÇÎÁÔÕÒÙ σ. (ôÁËÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÔÅÏÒÉÑ-
ÍÉ × ÓÉÇÎÁÔÕÒÅ σ.) çÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÆÏÒÍÕÌÁ A ×Ù×ÏÄÉÍÁ ÉÚ •, ÅÓÌÉ Å¾ ÍÏÖÎÏ
×Ù×ÅÓÔÉ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÎÁÒÁ×ÎÅ Ó ÁËÓÉÏÍÁÍÉ ÆÏÒÍÕÌÙ ÉÚ •. ëÁË É ÄÌÑ ÉÓÞÉÓÌÅ-
ÎÉÑ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ, ÍÙ ÐÉÛÅÍ • ` A. ÷Ù×ÏÄÉÍÙÅ ÉÚ • ÆÏÒÍÕÌÙ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ
ÔÁËÖÅ ÔÅÏÒÅÍÁÍÉ ÔÅÏÒÉÉ •.
   ìÅÍÍÁ Ï ÄÅÄÕËÃÉÉ ÄÌÑ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ÐÒÅÄÉËÁÔÏ×. ðÕÓÔØ • ¡ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÁ-
ÍËÎÕÔÙÈ ÆÏÒÍÕÌ, Á A ¡ ÚÁÍËÎÕÔÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ. ôÏÇÄÁ • ` (A → B) ÔÏÇÄÁ É
ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ • ∪ {A} ` B.
   äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÐÒÏÈÏÄÉÔ ÐÏ ÔÏÊ ÖÅ ÓÈÅÍÅ, ÞÔÏ É ÄÌÑ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ×Ù-
ÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ (Ó. 87): Ë ÆÏÒÍÕÌÁÍ C1, . . . , Cn, ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÍ ×Ù×ÏÄ Cn = B ÉÚ
• ∪ {A}, ÍÙ ÐÒÉÐÉÓÙ×ÁÅÍ ÐÏÓÙÌËÕ A É ÄÏÐÏÌÎÑÅÍ ÐÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ÐÏÓÌÅÄÏ×Á-
ÔÅÌØÎÏÓÔØ
                         (A → C1 ), . . . , (A → Cn)
ÄÏ ×Ù×ÏÄÁ ÉÚ •. ïÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÐÒÏÐÏÚÉÃÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÓÌÕÞÁÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ × ×Ù×ÏÄÅ
ÍÏÇÕÔ ×ÓÔÒÅÞÁÔØÓÑ ÐÒÁ×ÉÌÁ âÅÒÎÁÊÓÁ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÏÔ ×Ù×ÏÄÉÍÏÓÔÉ ÆÏÒÍÕÌÙ
                              A → (ψ → ϕ)
ÎÁÄÏ ÐÅÒÅÊÔÉ Ë ×Ù×ÏÄÉÍÏÓÔÉ ÆÏÒÍÕÌÙ
                            A → (ψ → ∀ξ ϕ)
(× ËÏÔÏÒÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÁÑ ξ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏÍ ÆÏÒÍÕÌÙ ψ). üÔÏ ÎÅÓÌÏÖÎÏ
ÓÄÅÌÁÔØ, ÅÓÌÉ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ × ÓÉÌÕ ÐÒÏÐÏÚÉÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÊ ÍÏÖÎÏ
ÐÅÒÅÊÔÉ ÏÔ A → (ψ → ϕ) Ë (A ∧ ψ) → ϕ, ÚÁÔÅÍ ÐÒÉÍÅÎÉÔØ ÐÒÁ×ÉÌÏ âÅÒ-
ÎÁÊÓÁ (ÜÔÏ ÚÁËÏÎÎÏ, ÔÁË ËÁË ÐÅÒÅÍÅÎÎÁÑ ξ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏÍ ÆÏÒÍÕÌÙ
ψ, Á ÆÏÒÍÕÌÁ A ÚÁÍËÎÕÔÁ ÐÏ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÀ). ðÏÌÕÞÉÔÓÑ ×Ù×ÏÄÉÍÁÑ ÉÚ •
ÆÏÒÍÕÌÁ
                              (A ∧ ψ) → ∀ξ ϕ,
É ÏÓÔÁ¾ÔÓÑ ×ÅÒÎÕÔØ A ÉÚ ËÏÎßÀÎËÃÉÉ × ÐÏÓÙÌËÕ.
   óÈÏÄÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ É ×ÔÏÒÏÅ ÐÒÁ×ÉÌÏ âÅÒÎÁÊÓÁ. åÓÌÉ ×Ù-
×ÏÄÉÍÁ ÆÏÒÍÕÌÁ A → (ϕ → ψ), ÔÏ × ÓÉÌÕ ÐÒÏÐÏÚÉÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÊ
×Ù×ÏÄÉÍÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ϕ → (A → ψ), Ë ËÏÔÏÒÏÊ ÍÏÖÎÏ ÐÒÉÍÅÎÉÔØ ÐÒÁ×ÉÌÏ âÅÒ-
ÎÁÊÓÁ É ÐÏÌÕÞÉÔØ ∃ξ ϕ → (A → ψ), ÐÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ×ÅÒÎÕÔØ A ÎÁÚÁÄ Ó ÐÏÍÏÝØÀ
ÐÒÏÐÏÚÉÃÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÉ. ìÅÍÍÁ Ï ÄÅÄÕËÃÉÉ ÄÏËÁÚÁÎÁ.

Страницы