Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 194 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

çìá÷á XIII
òÅËÕÒÓÉ×ÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ
§1. ðÒÉÍÉÔÉ×ÎÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ
ðÒÏÇÒÁÍÍÙ Ó ËÏÎÅÞÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÎÁÐÏÍÉÎÁÌÉ ÁÓÓÅÍÂÌÅÒ; ÒÁÓ-
ÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÅ × ÜÔÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÓËÏÒÅÅ ÎÁÐÏÍÉÎÁÀÔ
ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÐÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ, ËÏÇÄÁ ÏÄÎÉ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÞÅ-
ÒÅÚ ÄÒÕÇÉÅ. íÙ ÂÕÄÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÆÕÎËÃÉÉ Ó ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÍÉ ÁÒÇÕÍÅÎ-
ÔÁÍÉ É ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ. ÷ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÆÕÎËÃÉÉ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÎÅ ×ÓÀÄÕ ÏÐÒÅ-
ÄÅÌÅÎÎÙÍÉ, ÔÁË ÞÔÏ ÇÏ×ÏÒÑ Ï ÆÕÎËÃÉÉ n ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ× (ÆÕÎËÃÉÉ ÉÚ N
n
× N,
n-ÍÅÓÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ), ÍÙ ÉÍÅÅÍ × ×ÉÄÕ ÆÕÎËÃÉÀ, ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÕÀ ÎÁ ÎÅËÏÔÏ-
ÒÏÍ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Å N
n
ÓÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ × N.
ðÕÓÔØ ÉÍÅÅÔÓÑ ÏÄÎÁ k-ÍÅÓÔÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ f É k ÛÔÕË n-ÍÅÓÔÎÙÈ g
1
, . . . , g
k
.
ôÏÇÄÁ ÉÚ ÎÉÈ ÍÏÖÎÏ ÓÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÔØ ÏÄÎÕ n-ÍÅÓÔÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ
hx
1
, . . . , x
n
i 7→ f(g
1
(x
1
, . . . , x
n
), . . . , g
k
(x
1
, . . . , x
n
)).
çÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÁÑ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÆÕÎËÃÉÑ ÐÏÌÕÞÅÎÁ ÉÚ ÆÕÎËÃÉÊ f
É g
1
, . . . , g
k
Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÏÐÅÒÁÃÉÉ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ.
äÒÕÇÁÑ ÏÐÅÒÁÃÉÑ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÁÑ ÏÐÅÒÁÃÉÅÊ ÒÅËÕÒÓÉÉ, ÉÌÉ
ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÏÊ ÒÅËÕÒÓÉÉ, ÐÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ Ë k-ÍÅÓÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ f É (k +
+ 2)-ÍÅÓÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ g. å¾ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ÂÕÄÅÔ (k + 1)-ÍÅÓÔÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ h,
ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍÁÑ ÔÁË:
h(x
1
, . . . , x
k
, 0) = f(x
1
, . . . , x
k
); (1)
h(x
1
, . . . , x
k
, y + 1) = g(x
1
, . . . , x
k
, y, h(x
1
, . . . , x
k
, y)). (2)
÷ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ h(x
1
, . . . , x
n
, 0), h(x
1
, . . . , x
n
, 1), . . . ËÁÖÄÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ
ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÅ, ÐÏÜÔÏÍÕ ÅÓÌÉ ËÁËÏÅ-ÔÏ ÉÚ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÎÅ ÏÐÒÅ-
ÄÅÌÅÎÏ, ÔÏ ÎÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÙ É ×ÓÅ ÐÏÓÌÅÄÕÀÝÉÅ.
äÌÑ ÅÄÉÎÏÏÂÒÁÚÉÑ ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÎÕÌØ-ÍÅÓÔÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ (ÆÕÎË-
ÃÉÉ ÂÅÚ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×) ÓÕÔØ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ; ÜÔÏ ÐÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÑÔØ
ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ.
ðÒÉÍÉÔÉ×ÎÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÍÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÆÕÎËÃÉÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÐÏÌÕ-
ÞÉÔØ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÏÐÅÒÁÃÉÊ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ É ÒÅËÕÒÓÉÉ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÂÁÚÉÓÎÙÈ
ÆÕÎËÃÉÊ: ËÏÎÓÔÁÎÔÙ 0, ÏÐÅÒÁÃÉÉ ÐÒÉÂÁ×ÌÅÎÉÑ ÅÄÉÎÉÃÙ s : x 7→ x + 1 É ÓÅ-
ÍÅÊÓÔ×Á ÆÕÎËÃÉÊ ÐÒÏÅËÃÉÉ: ÜÔÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ k ÓÏÄÅÒÖÉÔ k ÛÔÕË
k-ÍÅÓÔÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ π
i
k
(x
1
, . . . , x
k
) = x
i
.
194
                                   çìá÷á XIII
                     òÅËÕÒÓÉ×ÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ

   §1. ðÒÉÍÉÔÉ×ÎÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ
   ðÒÏÇÒÁÍÍÙ Ó ËÏÎÅÞÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÎÁÐÏÍÉÎÁÌÉ ÁÓÓÅÍÂÌÅÒ; ÒÁÓ-
ÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÅ × ÜÔÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÓËÏÒÅÅ ÎÁÐÏÍÉÎÁÀÔ
ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÐÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ, ËÏÇÄÁ ÏÄÎÉ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÞÅ-
ÒÅÚ ÄÒÕÇÉÅ. íÙ ÂÕÄÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÆÕÎËÃÉÉ Ó ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÍÉ ÁÒÇÕÍÅÎ-
ÔÁÍÉ É ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ. ÷ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÆÕÎËÃÉÉ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÎÅ ×ÓÀÄÕ ÏÐÒÅ-
ÄÅÌÅÎÎÙÍÉ, ÔÁË ÞÔÏ ÇÏ×ÏÒÑ Ï ÆÕÎËÃÉÉ n ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ× (ÆÕÎËÃÉÉ ÉÚ Nn × N,
n-ÍÅÓÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ), ÍÙ ÉÍÅÅÍ × ×ÉÄÕ ÆÕÎËÃÉÀ, ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÕÀ ÎÁ ÎÅËÏÔÏ-
ÒÏÍ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Å Nn ÓÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ × N.
   ðÕÓÔØ ÉÍÅÅÔÓÑ ÏÄÎÁ k-ÍÅÓÔÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ f É k ÛÔÕË n-ÍÅÓÔÎÙÈ g1 , . . . , gk .
ôÏÇÄÁ ÉÚ ÎÉÈ ÍÏÖÎÏ ÓÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÔØ ÏÄÎÕ n-ÍÅÓÔÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ
               hx1, . . . , xni 7→ f (g1(x1, . . . , xn), . . . , gk (x1, . . . , xn)).
çÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÁÑ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÆÕÎËÃÉÑ ÐÏÌÕÞÅÎÁ ÉÚ ÆÕÎËÃÉÊ f
É g 1 , . . . , gk
   Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÏÐÅÒÁÃÉÉ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ.
   äÒÕÇÁÑ ÏÐÅÒÁÃÉÑ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÁÑ ÏÐÅÒÁÃÉÅÊ ÒÅËÕÒÓÉÉ, ÉÌÉ
   ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÏÊ ÒÅËÕÒÓÉÉ, ÐÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ Ë k-ÍÅÓÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ f É (k +
+ 2)-ÍÅÓÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ g. å¾ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ÂÕÄÅÔ (k + 1)-ÍÅÓÔÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ h,
ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍÁÑ ÔÁË:
                 h(x1, . . . , xk , 0) = f (x1, . . . , xk );                             (1)
             h(x1, . . . , xk , y + 1) = g(x1, . . . , xk , y, h(x1, . . . , xk , y)).    (2)
÷ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ h(x1, . . . , xn, 0), h(x1, . . . , xn, 1), . . . ËÁÖÄÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ
ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÅ, ÐÏÜÔÏÍÕ ÅÓÌÉ ËÁËÏÅ-ÔÏ ÉÚ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÎÅ ÏÐÒÅ-
ÄÅÌÅÎÏ, ÔÏ ÎÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÙ É ×ÓÅ ÐÏÓÌÅÄÕÀÝÉÅ.
   äÌÑ ÅÄÉÎÏÏÂÒÁÚÉÑ ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÎÕÌØ-ÍÅÓÔÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ (ÆÕÎË-
ÃÉÉ ÂÅÚ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×) ÓÕÔØ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ; ÜÔÏ ÐÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÑÔØ
ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ.
   ðÒÉÍÉÔÉ×ÎÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÍÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÆÕÎËÃÉÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÐÏÌÕ-
ÞÉÔØ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÏÐÅÒÁÃÉÊ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ É ÒÅËÕÒÓÉÉ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÂÁÚÉÓÎÙÈ
ÆÕÎËÃÉÊ: ËÏÎÓÔÁÎÔÙ 0, ÏÐÅÒÁÃÉÉ ÐÒÉÂÁ×ÌÅÎÉÑ ÅÄÉÎÉÃÙ s : x 7→ x + 1 É ÓÅ-
ÍÅÊÓÔ×Á ÆÕÎËÃÉÊ ÐÒÏÅËÃÉÉ: ÜÔÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ k ÓÏÄÅÒÖÉÔ k ÛÔÕË
k-ÍÅÓÔÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ πki (x1, . . . , xk ) = xi.
                                         194

Страницы