Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 199 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§4. äÒÕÇÉÅ ×ÉÄÙ ÒÅËÕÒÓÉÉ 199
ÆÕÎËÃÉÉ h(n) = [f(n), g(n)]:
h(0) =[a, b], (5)
h(n + 1) =[F (n, p
1
(h(n)), p
2
(h(n))), (6)
G(n, p
1
(h(n)), p
2
(h(n)))], (7)
ÇÄÅ ÆÕÎËÃÉÉ p
1
É p
2
ÄÁÀÔ ÐÏ ÎÏÍÅÒÕ ÐÁÒÙ ÐÅÒ×ÙÊ É ×ÔÏÒÏÊ Å¾ ÞÌÅÎÙ. åÓÌÉ
ÆÕÎËÃÉÑ h ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÁ, ÔÏ É ÆÕÎËÃÉÉ f É g (ËÏÍÐÏÚÉÃÉÉ h Ó
ÆÕÎËÃÉÑÍÉ p
1
É p
2
) ÔÁËÖÅ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙ.
ïÓÔÁÌÏÓØ ÏÂßÑÓÎÉÔØ, ËÁË ÎÁÊÔÉ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÕÀ ÎÕÍÅÒÁÃÉÀ
ÐÁÒ. íÏÖÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÅÓÔØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ Ó Ä×ÕÍÑ ÐÅÒÅ-
ÍÅÎÎÙÍÉ, ÚÁÄÁÀÝÉÊ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ N × N → N. üÔÏ
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ×ÉÄÎÏ ÉÚ ÔÁÂÌÉÃÙ:
6
3 7
1 4 8
0 2 5 9
ðÒÉÍÉÔÉ×ÎÕÀ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÓÔØ ÏÂÒÁÔÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ p
1
É p
2
ÍÏÖÎÏ ÕÓÔÁ-
ÎÏ×ÉÔØ, ×ÏÓÐÏÌØÚÏ×Á×ÛÉÓØ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ÍÉÎÉÍÉÚÁÃÉÅÊ, ÔÁË ËÁË p
1
(n) ÅÓÔØ
ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ x 6 n, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁÊľÔÓÑ y 6 n, ÐÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ [x, y] = n.
íÅÎÅÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁÑ ÎÕÍÅÒÁÃÉÑ ÐÁÒ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÄÁÎÁ ÆÏÒÍÕÌÏÊ [a, b] =
= (2a + 1)2
b
. íÏÖÎÏ ÔÁËÖÅ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÎÁÍ ÎÅ ÎÕÖÎÏ, ÞÔÏÂÙ ×ÓÅ ÞÉÓÌÁ
ÂÙÌÉ ÎÏÍÅÒÁÍÉ ËÁËÉÈ-ÔÏ ÐÁÒ, É ×ÏÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÎÕÍÅÒÁÃÉÅÊ [a, b] = 2
a
3
b
.
úÁÍÅÔÉÍ × ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ, ÞÔÏ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÁÑ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÑ ÐÒÉÍÅÎÉÍÁ ÄÌÑ
ÂÏÌØÛÅÇÏ ÞÉÓÌÁ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ É ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÊ ÏÔ
ÂÏÌØÛÅÇÏ ÞÉÓÌÁ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×.
÷ÏÚ×ÒÁÔÎÁÑ ÒÅËÕÒÓÉÑ. óÌÅÄÕÀÝÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÐÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÐÒÉ ÒÅ-
ËÕÒÓÉ×ÎÏÍ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÍÏÖÎÏ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ × ÐÒÅÄÙÄÕ-
ÝÅÊ ÔÏÞËÅ, ÎÏ É ÌÀÂÏÅ ÐÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ.
ôÅÏÒÅÍÁ 74. ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ g ÏÄÎÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÏ ÒÅËÕÒ-
ÓÉ×ÎÁ, ÐÒÉÞ¾Í g(x) < x ÐÒÉ x > 0; ÐÕÓÔØ F ¡ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÏ ÒÅËÕÒÓÉ×-
ÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ Ä×ÕÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×; ÐÕÓÔØ c ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ËÏÎÓÔÁÎÔÁ. ôÏÇÄÁ
ÆÕÎËÃÉÑ h, ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÁÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ
h(0) = c, (8)
h(x) = F (x, h(g(x))) ÐÒÉ x > 0 (9)
ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÁ.
þÔÏÂÙ ÄÏËÁÚÁÔØ ÜÔÕ ÔÅÏÒÅÍÕ, ÉÓÐÏÌØÚÕÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÎÕÍÅÒÁÃÉÀ ËÏ-
ÎÅÞÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ: ÎÏÍÅÒÏÍ ÐÕÓÔÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ-
§4. äÒÕÇÉÅ ×ÉÄÙ ÒÅËÕÒÓÉÉ                                            199

ÆÕÎËÃÉÉ h(n) = [f (n), g(n)]:
                       h(0) =[a, b],                                 (5)
                   h(n + 1) =[F (n, p1(h(n)), p2(h(n))),             (6)
                                  G(n, p1(h(n)), p2(h(n)))],         (7)
ÇÄÅ ÆÕÎËÃÉÉ p1 É p2 ÄÁÀÔ ÐÏ ÎÏÍÅÒÕ ÐÁÒÙ ÐÅÒ×ÙÊ É ×ÔÏÒÏÊ Å¾ ÞÌÅÎÙ. åÓÌÉ
ÆÕÎËÃÉÑ h ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÁ, ÔÏ É ÆÕÎËÃÉÉ f É g (ËÏÍÐÏÚÉÃÉÉ h Ó
ÆÕÎËÃÉÑÍÉ p1 É p2) ÔÁËÖÅ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙ.
   ïÓÔÁÌÏÓØ ÏÂßÑÓÎÉÔØ, ËÁË ÎÁÊÔÉ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÕÀ ÎÕÍÅÒÁÃÉÀ
ÐÁÒ. íÏÖÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÅÓÔØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ Ó Ä×ÕÍÑ ÐÅÒÅ-
ÍÅÎÎÙÍÉ, ÚÁÄÁÀÝÉÊ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ N × N → N. üÔÏ
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ×ÉÄÎÏ ÉÚ ÔÁÂÌÉÃÙ:
                               6
                               3 7
                               1 4 8
                               0 2 5 9
ðÒÉÍÉÔÉ×ÎÕÀ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÓÔØ ÏÂÒÁÔÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ p1 É p2 ÍÏÖÎÏ ÕÓÔÁ-
ÎÏ×ÉÔØ, ×ÏÓÐÏÌØÚÏ×Á×ÛÉÓØ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ÍÉÎÉÍÉÚÁÃÉÅÊ, ÔÁË ËÁË p 1(n) ÅÓÔØ
ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ x 6 n, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁÊľÔÓÑ y 6 n, ÐÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ [x, y] = n.
   íÅÎÅÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁÑ ÎÕÍÅÒÁÃÉÑ ÐÁÒ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÄÁÎÁ ÆÏÒÍÕÌÏÊ [a, b] =
= (2a + 1)2b. íÏÖÎÏ ÔÁËÖÅ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÎÁÍ ÎÅ ÎÕÖÎÏ, ÞÔÏÂÙ ×ÓÅ ÞÉÓÌÁ
ÂÙÌÉ ÎÏÍÅÒÁÍÉ ËÁËÉÈ-ÔÏ ÐÁÒ, É ×ÏÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÎÕÍÅÒÁÃÉÅÊ [a, b] = 2a 3b.
   úÁÍÅÔÉÍ × ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ, ÞÔÏ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÁÑ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÑ ÐÒÉÍÅÎÉÍÁ ÄÌÑ
ÂÏÌØÛÅÇÏ ÞÉÓÌÁ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ É ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÊ ÏÔ
ÂÏÌØÛÅÇÏ ÞÉÓÌÁ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×.
   ÷ÏÚ×ÒÁÔÎÁÑ ÒÅËÕÒÓÉÑ. óÌÅÄÕÀÝÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÐÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÐÒÉ ÒÅ-
ËÕÒÓÉ×ÎÏÍ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÍÏÖÎÏ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ × ÐÒÅÄÙÄÕ-
ÝÅÊ ÔÏÞËÅ, ÎÏ É ÌÀÂÏÅ ÐÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ.
   ôÅÏÒÅÍÁ 74. ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ g ÏÄÎÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÏ ÒÅËÕÒ-
ÓÉ×ÎÁ, ÐÒÉÞ¾Í g(x) < x ÐÒÉ x > 0; ÐÕÓÔØ F ¡ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÏ ÒÅËÕÒÓÉ×-
ÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ Ä×ÕÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×; ÐÕÓÔØ c ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ËÏÎÓÔÁÎÔÁ. ôÏÇÄÁ
ÆÕÎËÃÉÑ h, ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÁÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ
                       h(0) = c,                                     (8)
                       h(x) = F (x, h(g(x))) ÐÒÉ x > 0               (9)
ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÁ.
    þÔÏÂÙ ÄÏËÁÚÁÔØ ÜÔÕ ÔÅÏÒÅÍÕ, ÉÓÐÏÌØÚÕÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÎÕÍÅÒÁÃÉÀ ËÏ-
ÎÅÞÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ: ÎÏÍÅÒÏÍ ÐÕÓÔÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ-

Страницы