Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 214 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

214 úÁÄÁÞÉ
òÅÛÅÎÉÅ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ y
1
= x
1
→ x
2
x
3
, y
2
= x
1
∼ x
3
, ÔÏÇÄÁ F = y
1
∨ y
2
.
îÁÊÄ¾Í Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍÙÈ ÆÏÒÍÕÌ (y
1
, y
2
) É ÄÌÑ
ÆÏÒÍÕÌÙ, × ËÏÔÏÒÕÀ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ (F):
(y
1
∨ y
2
)
∗
≡ y
1
∨ y
2
≡ y
1
· y
2
≡ y
1
· y
2
;
(x
1
→ x
2
x
3
)
∗
≡ x
1
→ x
2
x
3
≡ x
1
∨ x
2
x
3
≡
≡ x
1
∨ x
2
x
3
≡ x
1
· x
2
· x
3
≡ x
1
(x
2
∨ x
3
) ≡ x
1
(x
2
→ x
3
);
(x
1
∼ x
3
)
∗
≡ x
1
∼ x
3
≡ x
1
· x
3
∨ x
1
· x
3
≡ x
1
x
3
∨ x
1
x
3
≡
≡ x
1
x
3
· x
1
· x
3
≡ (x
1
∨ x
3
)(x
1
∨ x
3
) ≡ x
1
x
3
∨ x
1
x
3
≡ x
1
∼ x
3
.
ðÒÉÍÅÎÉÍ ÔÅÐÅÒØ ÏÂÝÉÊ ÐÒÉÎÃÉÐ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ:
F
∗
≡ y
1
· y
2
≡ x
1
(x
2
→ x
3
)(x
1
∼ x
3
).
âÕÌÅ× ÐÒÉÎÃÉÐ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ: ÆÏÒÍÕÌÁ, Ä×ÏÊ-
ÓÔ×ÅÎÎÁÑ Ë ÂÕÌÅ×ÏÊ ÆÏÒÍÕÌÅ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÚÁÍÅÎÏÊ ∨ ÎÁ ∧, ∧ ÎÁ ∨, 0 ÎÁ 1, 1
ÎÁ 0 É ÓÏÈÒÁÎÅÎÉÅÍ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ ÆÏÒÍÕÌÙ.
ðÒÉÍÅÒ 5. îÁÊÔÉ ÆÏÒÍÕÌÕ, Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÕÀ Ë ÆÏÒÍÕÌÅ
(x
1
→ x
2
x
3
) ∨ (x
1
∼ x
3
),
ÐÏÌØÚÕÑÓØ ÂÕÌÅ×ÙÍ ÐÒÉÎÃÉÐÏÍ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ.
òÅÛÅÎÉÅ.
((x
1
→ x
2
x
3
) ∨ (x
1
∼ x
3
))
∗
≡ ((x
1
∨ x
2
x
3
) ∨ (x
1
x
3
∨ x
1
x
3
))
∗
ÂÕÌÅ× ÐÒÉÎÃÉÐ
≡
Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ
≡
x
1
· (x
2
∨ x
3
) · ((x
1
∨ x
3
)(x
1
∨ x
3
))
ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÙÊ
≡
ÚÁËÏÎ
≡ x
1
(x
2
→ x
3
)(x
1
x
3
∨ x
3
x
1
) ≡ x
1
(x
2
→ x
3
)(x
1
∼ x
3
).
îÁÊÔÉ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ:
148. x(y∨z); 149. xy∨xz; 150. (x ∨ y)(x∨yz); 151. (xy∨yz∨zv)(x ∨ y ∨ z);
152. x
y ∨ z(x ∨ y)
; 153. xyz∨xyz∨xyz∨xyz; 154.
(x ∨ y)(x ∨ z) ∨ xy
∨
∨
(x ∨ y)z ∨ x
; 155. xy
yz ∨ xyz(xz ∨ yz) ∨ xy
(x ∨ y ∨ z).
ðÒÉÍÅÎÉÔØ ÚÁËÏÎ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ Ë ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏÓÔÑÍ:
156. xx ≡ x; 157. x ∨ 0 ≡ x; 158. xy ≡ yx; 159. x ∨ (y ∨ z) ≡ (x ∨ y) ∨ z;
160. xy ≡ x ∨ y; 161. x(x ∨ y) ≡ x; 162. x ∨ xy ≡ x ∨ y;
163. x ∨ xy ∨ yz ∨ xz ≡ x ∨ z.
214                                                                                úÁÄÁÞÉ

  òÅÛÅÎÉÅ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ y1 = x1 → x2 x3, y2 = x1 ∼ x3 , ÔÏÇÄÁ F = y1 ∨ y2.
îÁÊÄ¾Í Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍÙÈ ÆÏÒÍÕÌ (y1, y2) É ÄÌÑ
ÆÏÒÍÕÌÙ, × ËÏÔÏÒÕÀ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ (F ):

                     (y1 ∨ y2)∗ ≡ y 1 ∨ y 2 ≡ y 1 · y 2 ≡ y1 · y2 ;
 (x1 → x2 x3)∗ ≡ x1 → x2 x3 ≡ x1 ∨ x2x3 ≡
                      ≡ x1 ∨ x2x3 ≡ x1 · x2 · x3 ≡ x1 (x2 ∨ x3) ≡ x1 (x2 → x3);
 (x1 ∼ x3)∗ ≡ x1 ∼ x3 ≡ x1 · x3 ∨ x1 · x3 ≡ x1 x3 ∨ x1x3 ≡
                ≡ x1 x3 · x1 · x3 ≡ (x1 ∨ x3)(x1 ∨ x3 ) ≡ x1 x3 ∨ x1x3 ≡ x1 ∼ x3.

ðÒÉÍÅÎÉÍ ÔÅÐÅÒØ ÏÂÝÉÊ ÐÒÉÎÃÉÐ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ:

                     F ∗ ≡ y1 · y2 ≡ x1(x2 → x3)(x1 ∼ x3 ).

   âÕÌÅ× ÐÒÉÎÃÉÐ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ: ÆÏÒÍÕÌÁ, Ä×ÏÊ-
ÓÔ×ÅÎÎÁÑ Ë ÂÕÌÅ×ÏÊ ÆÏÒÍÕÌÅ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÚÁÍÅÎÏÊ ∨ ÎÁ ∧, ∧ ÎÁ ∨, 0 ÎÁ 1, 1
ÎÁ 0 É ÓÏÈÒÁÎÅÎÉÅÍ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ ÆÏÒÍÕÌÙ.
   ðÒÉÍÅÒ 5. îÁÊÔÉ ÆÏÒÍÕÌÕ, Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÕÀ Ë ÆÏÒÍÕÌÅ

                            (x1 → x2x3 ) ∨ (x1 ∼ x3),

ÐÏÌØÚÕÑÓØ ÂÕÌÅ×ÙÍ ÐÒÉÎÃÉÐÏÍ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ.
  òÅÛÅÎÉÅ.
                                                                        ÂÕÌÅ× ÐÒÉÎÃÉÐ
 ((x1 → x2x3 ) ∨ (x1 ∼ x3))∗ ≡ ((x1 ∨ x2 x3) ∨ (x1x3 ∨ x1 x3))∗             ≡
                                                                       Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ
                                                          ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÙÊ
              ≡ x1 · (x2 ∨ x3) · ((x1 ∨ x3)(x1 ∨ x3 ))          ≡
                                                               ÚÁËÏÎ
                         ≡ x1 (x2 → x3)(x1x3 ∨ x3x1 ) ≡ x1 (x2 → x3)(x1 ∼ x3 ).

   îÁÊÔÉ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ:
148. x(y∨z);
             149. xy∨xz;
                           150. (x ∨ y)(x∨yz); 151. (xy
                                                       ∨yz ∨zv)(x ∨ y ∨z);
152. x y ∨ z(x ∨ y) ; 153. xyz∨xyz∨xyz∨xyz; 154. (x ∨ y)(x ∨ z) ∨ xy ∨
                                                  
∨ (x ∨ y)z ∨ x ;      155. xy yz ∨ xyz(xz ∨ yz) ∨ xy (x ∨ y ∨ z).
  ðÒÉÍÅÎÉÔØ ÚÁËÏÎ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ Ë ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏÓÔÑÍ:
156. xx ≡ x; 157. x ∨ 0 ≡ x; 158. xy ≡ yx; 159. x ∨ (y ∨ z) ≡ (x ∨ y) ∨ z;
160. xy ≡ x ∨ y;           161. x(x ∨ y) ≡ x;     162. x ∨ xy ≡ x ∨ y;
163. x ∨ xy ∨ yz ∨ xz ≡ x ∨ z.

Страницы