Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

70 çÌÁ×Á III. ìÏÇÉËÁ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ
ÞÔÏ f(x
1
, . . . , x
n
) = f(1 − x
1
, . . . , 1 − x
n
) ÄÌÑ ËÁËÉÈ-ÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÊ x
1
, . . . , x
n
∈
∈ {0, 1}. ÷ÍÅÓÔÏ ÎÕÌÅ×ÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ x
1
, . . . , x
n
ÐÏÄÓÔÁ×ÉÍ p, ×ÍÅ-
ÓÔÏ ÅÄÉÎÉà ÐÏÄÓÔÁ×ÉÍ ¬p, ÐÏÌÕÞÉÔÓÑ ÏÄÎÁ ÉÚ ËÏÎÓÔÁÎÔ. ÷ÔÏÒÁÑ ÐÏÌÕÞÉÔÓÑ
ÏÔÒÉÃÁÎÉÅÍ.
ôÅÐÅÒØ Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ, ÏÔÒÉÃÁÎÉÅ É ÎÅÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ f(p
1
, . . . ,
p
n
). îÅÌÉÎÅÊÎÏÓÔØ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ × Å¾ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ × ×ÉÄÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÅÓÔØ
ÍÏÎÏÍ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ ÉÚ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ. ðÕÓÔØ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÜÔÏÔ
ÍÏÎÏÍ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ p
1
É p
2
. óÇÒÕÐÐÉÒÕÅÍ ÞÌÅÎÙ ÐÏ ÞÅÔÙÒ¾Í ÇÒÕÐ-
ÐÁÍ É ÐÏÌÕÞÉÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ
p
1
p
2
A(p
3
, . . . ) + p
1
B(p
3
, . . . ) + p
2
C(p
3
, . . . ) + D(p
3
, . . . ).
ðÒÉ ÜÔÏÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ A(p
3
, . . . ) ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÏÔÌÉÞÅÎ ÏÔ ÎÕÌÑ, ÐÏÜÔÏÍÕ ÍÏÖÎÏ ÔÁË
ÐÏÄÓÔÁ×ÉÔØ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ ×ÍÅÓÔÏ p
3
, . . . , p
n
, ÞÔÏÂÙ ÐÅÒ×ÏÅ ÓÌÁÇÁÅÍÏÅ ÎÅ ÏÂÒÁÔÉ-
ÌÏÓØ × ÎÕÌØ. ôÏÇÄÁ ÐÏÌÕÞÉÍ ÌÉÂÏ p
1
p
2
+d, ÌÉÂÏ p
1
p
2
+p
1
+d, ÌÉÂÏ p
1
p
2
+p
2
+d,
ÌÉÂÏ p
1
p
2
+ p
1
+ p
2
+ d. ó×ÏÂÏÄÎÙÊ ÞÌÅÎ d ÍÏÖÎÏ ÍÅÎÑÔØ, ÅÓÌÉ ÎÕÖÎÏ (Õ ÎÁÓ
ÅÓÔØ ÏÔÒÉÃÁÎÉÅ), ÔÁË ÞÔÏ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÌÉÂÏ p
1
p
2
(ËÏÎßÀÎËÃÉÑ, É ×Ó¾ ÄÏËÁÚÁ-
ÎÏ), ÌÉÂÏ p
1
p
2
+ p
1
= p
1
(p
2
+ 1) = p
1
∧ ¬p
2
(ÕÂÉÒÁÅÍ ÏÔÒÉÃÁÎÉÅ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ
ËÏÎßÀÎËÃÉÀ, ×Ó¾ ÄÏËÁÚÁÎÏ), ÌÉÂÏ p
1
p
2
+p
2
(ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ), ÌÉÂÏ p
1
p
2
+p
1
+p
2
=
= (1+p
1
)(1+p
2
)−1 = ¬(¬p
1
∧¬p
2
) = p
1
∨p
2
(ÄÉÚßÀÎËÃÉÑ, ×Ó¾ ÄÏËÁÚÁÎÏ).
§3. óÈÅÍÙ ÉÚ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×
æÏÒÍÕÌÙ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÂÏÊ ÓÐÏÓÏ ÚÁÐÉÓÉ ËÏÍÐÏÚÉÃÉÉ ÆÕÎËÃÉÊ. îÁ-
ÐÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ ÍÙ ÓÎÁÞÁÌÁ ÐÒÉÍÅÎÑÅÍ ÆÕÎËÃÉÀ f, Á ÐÏÔÏÍ ÆÕÎËÃÉÀ g, ÜÔÏ
ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ ÆÏÒÍÕÌÏÊ g(f(x)). îÏ ÅÓÔØ É ÄÒÕÇÏÊ ÓÐÏÓÏÂ: ÍÏÖÎÏ ÉÚÏÂÒÁ-
ÚÉÔØ ËÁÖÄÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ × ×ÉÄÅ ÐÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉËÁ Ó ¥×ÈÏÄÏÍ¥ É ¥×ÙÈÏÄÏÍ¥ É
ÓÏÅÄÉÎÉÔØ ×ÙÈÏÄ ÆÕÎËÃÉÉ f ÓÏ ×ÈÏÄÏÍ ÆÕÎËÃÉÉ g (ÒÉÓ. 1).
-
f g g(f(x))
òÉÓ. 1. ä×Á ÓÐÏÓÏÂÁ ÉÚÏÂÒÁÚÉÔØ ËÏÍÐÏÚÉÃÉÀ g ◦ f.
ôÁËÏÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÏÔÎÀÄØ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÉÓÔÏ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÍ. ÷ ÔÅ-
ÞÅÎÉÉ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÄÅÓÑÔËÏ× ÌÅÔ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÁÑ ÐÒÏÍÙÛÌÅÎÎÏÓÔØ ×ÙÐÕÓËÁÅÔ
ÍÉËÒÏÓÈÅÍÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ×ÙÐÏÌÎÑÀÔ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÏÐÅÒÁÃÉÉ. ôÁËÁÑ ÍÉËÒÏÓÈÅÍÁ
ÉÍÅÅÔ ÜÌÅËÔÒÉÞÅÓËÉÅ ËÏÎÔÁËÔÙ, ÎÁÐÒÑÖÅÎÉÅ ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ËÏÄÉÒÕÅÔ ÌÏÇÉÞÅ-
ÓËÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ é É ì. ëÏÎËÒÅÔÎÏÅ ÎÁÐÒÑÖÅÎÉÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÔÉÐÁ ÓÈÅÍÙ, ÎÏ
ÏÂÙÞÎÏ ÜÔÏ ÎÅÓËÏÌØËÏ ×ÏÌØÔ, É ×ÙÓÏËÉÊ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌ (ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÚÁÚÅÍÌÅ-
ÎÉÑ) ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ ÅÄÉÎÉÃÅÊ, Á ÎÉÚËÉÊ ÎÕ̾Í.
70                                                  çÌÁ×Á III. ìÏÇÉËÁ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ

ÞÔÏ f (x1, . . . , xn) = f (1 − x1, . . . , 1 − xn) ÄÌÑ ËÁËÉÈ-ÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÊ x1, . . . , xn ∈
∈ {0, 1}. ÷ÍÅÓÔÏ ÎÕÌÅ×ÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ x1 , . . . , xn ÐÏÄÓÔÁ×ÉÍ p, ×ÍÅ-
ÓÔÏ ÅÄÉÎÉà ÐÏÄÓÔÁ×ÉÍ ¬p, ÐÏÌÕÞÉÔÓÑ ÏÄÎÁ ÉÚ ËÏÎÓÔÁÎÔ. ÷ÔÏÒÁÑ ÐÏÌÕÞÉÔÓÑ
ÏÔÒÉÃÁÎÉÅÍ.
    ôÅÐÅÒØ Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ, ÏÔÒÉÃÁÎÉÅ É ÎÅÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ f (p 1, . . . ,
pn ). îÅÌÉÎÅÊÎÏÓÔØ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ × Å¾ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ × ×ÉÄÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÅÓÔØ
ÍÏÎÏÍ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ ÉÚ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ. ðÕÓÔØ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÜÔÏÔ
ÍÏÎÏÍ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÅ p1 É p2. óÇÒÕÐÐÉÒÕÅÍ ÞÌÅÎÙ ÐÏ ÞÅÔÙÒ¾Í ÇÒÕÐ-
ÐÁÍ É ÐÏÌÕÞÉÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ
            p1p2 A(p3, . . . ) + p1B(p3, . . . ) + p2C(p3, . . . ) + D(p3, . . . ).
ðÒÉ ÜÔÏÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ A(p3, . . . ) ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÏÔÌÉÞÅÎ ÏÔ ÎÕÌÑ, ÐÏÜÔÏÍÕ ÍÏÖÎÏ ÔÁË
ÐÏÄÓÔÁ×ÉÔØ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ ×ÍÅÓÔÏ p3, . . . , pn, ÞÔÏÂÙ ÐÅÒ×ÏÅ ÓÌÁÇÁÅÍÏÅ ÎÅ ÏÂÒÁÔÉ-
ÌÏÓØ × ÎÕÌØ. ôÏÇÄÁ ÐÏÌÕÞÉÍ ÌÉÂÏ p1p2 +d, ÌÉÂÏ p1 p2 +p1 +d, ÌÉÂÏ p1p2 +p2 +d,
ÌÉÂÏ p1p2 + p1 + p2 + d. ó×ÏÂÏÄÎÙÊ ÞÌÅÎ d ÍÏÖÎÏ ÍÅÎÑÔØ, ÅÓÌÉ ÎÕÖÎÏ (Õ ÎÁÓ
ÅÓÔØ ÏÔÒÉÃÁÎÉÅ), ÔÁË ÞÔÏ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÌÉÂÏ p1p2 (ËÏÎßÀÎËÃÉÑ, É ×Ó¾ ÄÏËÁÚÁ-
ÎÏ), ÌÉÂÏ p1 p2 + p1 = p1(p2 + 1) = p1 ∧ ¬p2 (ÕÂÉÒÁÅÍ ÏÔÒÉÃÁÎÉÅ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ
ËÏÎßÀÎËÃÉÀ, ×Ó¾ ÄÏËÁÚÁÎÏ), ÌÉÂÏ p1 p2 +p2 (ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ), ÌÉÂÏ p1 p2 +p1 +p2 =
= (1+p1)(1+p2)−1 = ¬(¬p1 ∧¬p2) = p1 ∨p2 (ÄÉÚßÀÎËÃÉÑ, ×Ó¾ ÄÏËÁÚÁÎÏ).


     §3. óÈÅÍÙ ÉÚ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×
   æÏÒÍÕÌÙ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÂÏÊ ÓÐÏÓÏ ÚÁÐÉÓÉ ËÏÍÐÏÚÉÃÉÉ ÆÕÎËÃÉÊ. îÁ-
ÐÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ ÍÙ ÓÎÁÞÁÌÁ ÐÒÉÍÅÎÑÅÍ ÆÕÎËÃÉÀ f , Á ÐÏÔÏÍ ÆÕÎËÃÉÀ g, ÜÔÏ
ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ ÆÏÒÍÕÌÏÊ g(f (x)). îÏ ÅÓÔØ É ÄÒÕÇÏÊ ÓÐÏÓÏÂ: ÍÏÖÎÏ ÉÚÏÂÒÁ-
ÚÉÔØ ËÁÖÄÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ × ×ÉÄÅ ÐÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉËÁ Ó ¥×ÈÏÄÏÍ¥ É ¥×ÙÈÏÄÏÍ¥ É
ÓÏÅÄÉÎÉÔØ ×ÙÈÏÄ ÆÕÎËÃÉÉ f ÓÏ ×ÈÏÄÏÍ ÆÕÎËÃÉÉ g (ÒÉÓ. 1).

                                         f-     g      g(f (x))

              òÉÓ. 1. ä×Á ÓÐÏÓÏÂÁ ÉÚÏÂÒÁÚÉÔØ ËÏÍÐÏÚÉÃÉÀ g ◦ f .

   ôÁËÏÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÏÔÎÀÄØ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÉÓÔÏ ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÍ. ÷ ÔÅ-
ÞÅÎÉÉ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÄÅÓÑÔËÏ× ÌÅÔ ÜÌÅËÔÒÏÎÎÁÑ ÐÒÏÍÙÛÌÅÎÎÏÓÔØ ×ÙÐÕÓËÁÅÔ
ÍÉËÒÏÓÈÅÍÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ×ÙÐÏÌÎÑÀÔ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÏÐÅÒÁÃÉÉ. ôÁËÁÑ ÍÉËÒÏÓÈÅÍÁ
ÉÍÅÅÔ ÜÌÅËÔÒÉÞÅÓËÉÅ ËÏÎÔÁËÔÙ, ÎÁÐÒÑÖÅÎÉÅ ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ËÏÄÉÒÕÅÔ ÌÏÇÉÞÅ-
ÓËÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ é É ì. ëÏÎËÒÅÔÎÏÅ ÎÁÐÒÑÖÅÎÉÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÔÉÐÁ ÓÈÅÍÙ, ÎÏ
ÏÂÙÞÎÏ ÜÔÏ ÎÅÓËÏÌØËÏ ×ÏÌØÔ, É ×ÙÓÏËÉÊ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌ (ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÚÁÚÅÍÌÅ-
ÎÉÑ) ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ ÅÄÉÎÉÃÅÊ, Á ÎÉÚËÉÊ ÎÕ̾Í.

Страницы