Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

68 çÌÁ×Á III. ìÏÇÉËÁ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ
äÁÌÅÅ ÍÏÖÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÐÏÌÉÎÏÍÏ× ÓÔÏÌØËÏ ÖÅ, ÓËÏÌØËÏ ÂÕÌÅ×ÙÈ
ÆÕÎËÃÉÊ, Á ÉÍÅÎÎÏ 2
2
n
. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÂÕÌÅ×Á ÆÕÎËÃÉÑ ÍÏÖÅÔ ÐÒÉÎÉÍÁÔØ
ÌÀÂÏÅ ÉÚ Ä×ÕÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ × ËÁÖÄÏÊ ÉÚ 2
n
ÔÏÞÅË ÂÕÌÅ×Á ËÕÂÁ B
n
, Á ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ
ÍÏÖÅÔ ×ËÌÀÞÁÔØ ÉÌÉ ÎÅ ×ËÌÀÞÁÔØ ÌÀÂÏÊ ÉÚ 2
n
ÍÏÎÏÍÏ×. (íÏÎÏÍÏ× ÒÏ×ÎÏ 2
n
,
ÐÏÔÏÍÕ ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÍÏÎÏÍ ×ËÌÀÞÁÅÔ ÉÌÉ ÎÅ ×ËÌÀÞÁÅÔ ÌÀÂÕÀ ÉÚ n ÐÅÒÅÍÅÎ-
ÎÙÈ.) ðÏÜÔÏÍÕ ÉÚÂÙÔËÁ ÐÏÌÉÎÏÍÏ× ÎÅÔ, É ÅÓÌÉ ÌÀÂÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÁ
ÐÏÌÉÎÏÍÏÍ, ÔÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ.
íÏÖÎÏ É ÎÅ ÓÓÙÌÁÔØÓÑ ÎÁ Ó×ÅÄÅÎÉÑ ÉÚ ÁÌÇÅÂÒÙ É ÔÅÏÒÅÍÕ 20, Á ÄÁÔØ
Ñ×ÎÕÀ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÀ. üÔÏ ÕÄÏÂÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ ÉÎÄÕËÃÉÅÊ ÐÏ n. ðÕÓÔØ ÍÙ ÕÖÅ
ÕÍÅÅÍ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÔØ ÌÀÂÕÀ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎËÃÉÀ ÏÔ n−1 ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ× Ó ÐÏÍÏÝØÀ
ÐÏÌÉÎÏÍÁ. ôÏÇÄÁ ϕ(p
1
, . . . , p
n
) ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ËÁË
ϕ(p
1
, . . . , p
n
) = ϕ(0, p
2
, . . . , p
n
) + [ϕ(0, p
2
, . . . , p
n
) + ϕ(1, p
2
, . . . , p
n
)]p
1
(ÐÒÏ×ÅÒØÔÅ). ïÓÔÁ¾ÔÓÑ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÐÒÁ×ÕÀ ÞÁÓÔØ ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÐÏ-
ÌÉÎÏÍÏÍ ÐÏ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕËÃÉÉ.
äÌÑ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÔÁËÖÅ ÅÓÔØ ÄÒÕÇÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï: ÐÕÓÔØ Ä×Á ÍÎÏÇÏ-
ÞÌÅÎÁ (ÉÍÅÀÝÉÅ ÓÔÅÐÅÎØ 1 ÐÏ ËÁÖÄÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ) ÒÁ×ÎÙ ÐÒÉ ×ÓÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ
ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. ôÏÇÄÁ ÉÈ ÓÕÍÍÁ (ÉÌÉ ÒÁÚÎÏÓÔØ ¡ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÐÒÏÉÓÈÏÄÑÔ ÐÏ
ÍÏÄÕÌÀ 2) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ (ÓÏÄÅÒÖÉÔ ËÁËÉÅ-ÔÏ ÍÏÎÏÍÙ),
ÎÏ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ. ôÁË ÎÅ ÂÙ×ÁÅÔ, É ÜÔÏ ÌÅÇËÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÐÏ ÉÎ-
ÄÕËÃÉÉ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÌÀÂÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ A(p
1
, . . . , p
n
) ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ×
×ÉÄÅ
A(p
1
, . . . , p
n
) = B(p
2
, . . . , p
n
) + p
1
C(p
2
, . . . , p
n
),
ÇÄÅ B É C ¡ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÏÔ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÞÉÓÌÁ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÓÎÁ-
ÞÁÌÁ p
1
= 0, Á ÚÁÔÅÍ p
1
= 1, ÕÂÅÖÄÁÅÍÓÑ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ B É C ÒÁ×ÎÙ ÎÕÌÀ
×Ï ×ÓÅÈ ÔÏÞËÁÈ, É ÐÏÔÏÍÕ (ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕËÃÉÉ) ÒÁ×ÎÙ ÎÕÌÀ
ËÁË ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ (ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÔ ÍÏÎÏÍÏ×).
úÁÄÁÞÁ 112. ðÕÓÔØ F ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÐÏÌÅ. îÁÚÏ×¾Í ÍÕÌØÔÉÌÉÎÅÊÎÏÊ
ÆÕÎËÃÉÅÊ ÐÏÌÉÎÏÍ ÏÔ n ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ Ó ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ ÉÚ F , × ËÏÔÏÒÏÍ
×ÓÅ ÐÏËÁÚÁÔÅÌÉ ÓÔÅÐÅÎÅÊ ÒÁ×ÎÙ ÌÉÂÏ 0, ÌÉÂÏ 1. (ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÁÖÄÙÊ
ÍÏÎÏÍ × ÎÅÊ ÅÓÔØ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁ É ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÐÅÒÅ-
ÍÅÎÎÙÈ ÂÅÚ ÐÏ×ÔÏÒÅÎÉÊ.) âÕÄÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ B = {0, 1} ËÁË ÐÏÄÍÎÏÖÅ-
ÓÔ×Ï F . äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÓÑËÁÑ ÂÕÌÅ×Á ÆÕÎËÃÉÑ B
n
→ B ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÐÒÏ-
ÄÏÌÖÁÅÔÓÑ ÄÏ ÍÕÌØÔÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ F
n
→ F , É ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÍÕÌØ-
ÔÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ ÃÅÌÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ.
åÓÌÉ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÂÕÌÅ×Ù ÆÕÎËÃÉÉ × ËÁÞÅÓÔ×Å Ó×ÑÚÏË,
×ÏÚÎÉËÁÅÔ ×ÏÐÒÏÓ: × ËÁËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÁÂÏÒ ÂÕÌÅ×ÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÐÏÌ-
ÎÙÊ ÂÁÚÉÓ? (üÔÏ ÚÎÁÞÉÔ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÂÕÌÅ×Á ÆÕÎËÃÉÑ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ
68                                                    çÌÁ×Á III. ìÏÇÉËÁ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ

  äÁÌÅÅ ÍÏÖÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÐÏÌÉÎÏÍÏ× ÓÔÏÌØËÏ ÖÅ, ÓËÏÌØËÏ ÂÕÌÅ×ÙÈ
ÆÕÎËÃÉÊ, Á ÉÍÅÎÎÏ 22 . ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÂÕÌÅ×Á ÆÕÎËÃÉÑ ÍÏÖÅÔ ÐÒÉÎÉÍÁÔØ
                     n


ÌÀÂÏÅ ÉÚ Ä×ÕÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ × ËÁÖÄÏÊ ÉÚ 2n ÔÏÞÅË ÂÕÌÅ×Á ËÕÂÁ Bn , Á ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ
ÍÏÖÅÔ ×ËÌÀÞÁÔØ ÉÌÉ ÎÅ ×ËÌÀÞÁÔØ ÌÀÂÏÊ ÉÚ 2n ÍÏÎÏÍÏ×. (íÏÎÏÍÏ× ÒÏ×ÎÏ 2n,
ÐÏÔÏÍÕ ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÍÏÎÏÍ ×ËÌÀÞÁÅÔ ÉÌÉ ÎÅ ×ËÌÀÞÁÅÔ ÌÀÂÕÀ ÉÚ n ÐÅÒÅÍÅÎ-
ÎÙÈ.) ðÏÜÔÏÍÕ ÉÚÂÙÔËÁ ÐÏÌÉÎÏÍÏ× ÎÅÔ, É ÅÓÌÉ ÌÀÂÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÁ
ÐÏÌÉÎÏÍÏÍ, ÔÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ.
  íÏÖÎÏ É ÎÅ ÓÓÙÌÁÔØÓÑ ÎÁ Ó×ÅÄÅÎÉÑ ÉÚ ÁÌÇÅÂÒÙ É ÔÅÏÒÅÍÕ 20, Á ÄÁÔØ
Ñ×ÎÕÀ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÀ. üÔÏ ÕÄÏÂÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ ÉÎÄÕËÃÉÅÊ ÐÏ n. ðÕÓÔØ ÍÙ ÕÖÅ
ÕÍÅÅÍ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÔØ ÌÀÂÕÀ ÂÕÌÅ×Õ ÆÕÎËÃÉÀ ÏÔ n−1 ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ× Ó ÐÏÍÏÝØÀ
ÐÏÌÉÎÏÍÁ. ôÏÇÄÁ ϕ(p1, . . . , pn) ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ËÁË
     ϕ(p1, . . . , pn) = ϕ(0, p2, . . . , pn) + [ϕ(0, p2, . . . , pn) + ϕ(1, p2, . . . , pn)]p1
(ÐÒÏ×ÅÒØÔÅ). ïÓÔÁ¾ÔÓÑ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÐÒÁ×ÕÀ ÞÁÓÔØ ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÐÏ-
ÌÉÎÏÍÏÍ ÐÏ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕËÃÉÉ.
   äÌÑ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÔÁËÖÅ ÅÓÔØ ÄÒÕÇÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï: ÐÕÓÔØ Ä×Á ÍÎÏÇÏ-
ÞÌÅÎÁ (ÉÍÅÀÝÉÅ ÓÔÅÐÅÎØ 1 ÐÏ ËÁÖÄÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ) ÒÁ×ÎÙ ÐÒÉ ×ÓÅÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ
ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. ôÏÇÄÁ ÉÈ ÓÕÍÍÁ (ÉÌÉ ÒÁÚÎÏÓÔØ ¡ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÐÒÏÉÓÈÏÄÑÔ ÐÏ
ÍÏÄÕÌÀ 2) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ (ÓÏÄÅÒÖÉÔ ËÁËÉÅ-ÔÏ ÍÏÎÏÍÙ),
ÎÏ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ. ôÁË ÎÅ ÂÙ×ÁÅÔ, É ÜÔÏ ÌÅÇËÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÐÏ ÉÎ-
ÄÕËÃÉÉ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÌÀÂÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ A(p1, . . . , pn) ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ×
×ÉÄÅ
              A(p1, . . . , pn ) = B(p2, . . . , pn) + p1 C(p2, . . . , pn),
ÇÄÅ B É C ¡ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÏÔ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÞÉÓÌÁ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÓÎÁ-
ÞÁÌÁ p1 = 0, Á ÚÁÔÅÍ p1 = 1, ÕÂÅÖÄÁÅÍÓÑ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ B É C ÒÁ×ÎÙ ÎÕÌÀ
×Ï ×ÓÅÈ ÔÏÞËÁÈ, É ÐÏÔÏÍÕ (ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕËÃÉÉ) ÒÁ×ÎÙ ÎÕÌÀ
ËÁË ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ (ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÔ ÍÏÎÏÍÏ×).
   úÁÄÁÞÁ 112. ðÕÓÔØ F ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÐÏÌÅ. îÁÚÏ×¾Í ÍÕÌØÔÉÌÉÎÅÊÎÏÊ
ÆÕÎËÃÉÅÊ ÐÏÌÉÎÏÍ ÏÔ n ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ Ó ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ ÉÚ F , × ËÏÔÏÒÏÍ
×ÓÅ ÐÏËÁÚÁÔÅÌÉ ÓÔÅÐÅÎÅÊ ÒÁ×ÎÙ ÌÉÂÏ 0, ÌÉÂÏ 1. (ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÁÖÄÙÊ
ÍÏÎÏÍ × ÎÅÊ ÅÓÔØ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁ É ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÐÅÒÅ-
ÍÅÎÎÙÈ ÂÅÚ ÐÏ×ÔÏÒÅÎÉÊ.) âÕÄÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ B = {0, 1} ËÁË ÐÏÄÍÎÏÖÅ-
ÓÔ×Ï F . äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÓÑËÁÑ ÂÕÌÅ×Á ÆÕÎËÃÉÑ Bn → B ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÐÒÏ-
ÄÏÌÖÁÅÔÓÑ ÄÏ ÍÕÌØÔÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ F n → F , É ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÍÕÌØ-
ÔÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ ÃÅÌÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ.
   åÓÌÉ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÂÕÌÅ×Ù ÆÕÎËÃÉÉ × ËÁÞÅÓÔ×Å Ó×ÑÚÏË,
×ÏÚÎÉËÁÅÔ ×ÏÐÒÏÓ: × ËÁËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÁÂÏÒ ÂÕÌÅ×ÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÐÏÌ-
ÎÙÊ ÂÁÚÉÓ? (üÔÏ ÚÎÁÞÉÔ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÂÕÌÅ×Á ÆÕÎËÃÉÑ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ

Страницы