Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§3. óÈÅÍÙ ÉÚ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× 77
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÔÅÏÒÅÍÕ 25 ÌÅÇËÏ ×Ù×ÅÓÔÉ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ 26: ÞÔÏÂÙ ÓÒÁ×ÎÉÔØ
ÞÉÓÌÁ x É y, ÓÌÏÖÉÍ ÞÉÓÌÏ (2
n
− 1) − x (ÔÏ ÅÓÔØ ÞÉÓÌÏ x, × ËÏÔÏÒÏÍ ×ÓÅ
ÅÄÉÎÉÃÙ ÚÁÍÅÎÅÎÙ ÎÕÌÑÍÉ É ÎÁÏÂÏÒÏÔ) É ÞÉÓÌÏ y. åÓÌÉ × ÓÔÁÒÛÅÍ ÒÁÚÒÑÄÅ
ÐÏÑ×ÉÔÓÑ ÅÄÉÎÉÃÁ, ÔÏ y > x, Á ÅÓÌÉ ÎÅÔ, ÔÏ y 6 x. ïÓÔÁ¾ÔÓÑ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ
É ÓÌÏÖÅÎÉÅ, É ÏÂÒÁÝÅÎÉÅ ÂÉÔÏ× × ÞÉÓÌÅ x ÔÒÅÂÕÀÔ ÓÈÅÍ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÁÚÍÅ-
ÒÁ. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÞÉÓÅÌ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÀ ÂÉÔÁ ÐÅÒÅÎÏÓÁ.
÷ÅÒÎÏ É ÏÂÒÁÔÎÏÅ: ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÂÉÔÁ ÐÅÒÅÎÏÓÁ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ä×ÕÈ
ÞÉÓÅÌ (ÏÂÒÁÔÉÍ × ÏÄÎÏÍ ÉÚ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ ×ÓÅ ÂÉÔÙ).
ôÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÑ, ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÎÁÑ ÐÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÔÅÏÒÅ-
ÍÙ 25, ÉÍÅÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÐÒÅÉÍÕÝÅÓÔ×Á. îÁÚÏ×¾Í ÇÌÕÂÉÎÏÊ ÓÈÅÍÙ ÍÁËÓÉ-
ÍÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÎÁ ÐÕÔÉ ÏÔ ×ÈÏÄÁ Ë ×ÙÈÏÄÕ. åÓÌÉ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ
ÓÅÂÅ, ÞÔÏ ÓÉÇÎÁÌ ÎÁ ×ÙÈÏÄÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÐÏÑ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅ ÓÒÁÚÕ ÐÏÓÌÅ ÐÏÄÁÞÉ ÓÉÇ-
ÎÁÌÏ× ÎÁ ×ÈÏÄÙ, Á Ó ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÚÁÄÅÒÖËÏÊ, ÔÏ ÇÌÕÂÉÎÁ ÓÈÅÍÙ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ
ÓÕÍÍÁÒÎÕÀ ÚÁÄÅÒÖËÕ. ìÅÇËÏ ÐÏÎÑÔØ, ÞÔÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÁÑ ÓÈÅÍÁ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÉÍÅ-
ÌÁ ÇÌÕÂÉÎÕ O(log n) (ÞÉÓÌÏ ÕÒÏ×ÎÅÊ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÏ ÌÏÇÁÒÉÆÍÕ ÒÁÚÍÅÒÁ
×ÈÏÄÁ), × ÔÏ ×ÒÅÍÑ ËÁË ÐÏÓÔÒÏÅÎÎÁÑ ÔÏÌØËÏ ÞÔÏ ÓÈÅÍÁ ÓÌÏÖÅÎÉÑ ÉÍÅÅÔ ÇÌÕ-
ÂÉÎÕ, ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÕÀ n (ÂÉÔÙ ÐÅÒÅÎÏÓÁ ×ÙÞÉÓÌÑÀÔÓÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
ÓÐÒÁ×Á ÎÁÌÅ×Ï). îÏ ÍÏÖÎÏ ÓÏÅÄÉÎÉÔØ ÜÔÉ Ä×Á ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ:
ôÅÏÒÅÍÁ 27. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÈÅÍÁ ÓÌÏÖÅÎÉÑ Ä×ÕÈ n-ÂÉÔÏ×ÙÈ ÞÉÓÅÌ ÒÁÚ-
ÍÅÒÁ O(n) É ÇÌÕÂÉÎÙ O(log n).
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ëÁË ÍÙ ×ÉÄÅÌÉ, ÐÒÏÂÌÅÍÁ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÂÉÔÙ ÐÅÒÅÎÏÓÁ ×Ù-
ÞÉÓÌÑÀÔÓÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Á ÎÅ ÐÁÒÁÌÌÅÌØÎÏ. åÓÌÉ ÕÄÁÓÔÓÑ ÉÈ ×ÓÅ ×ÙÞÉ-
ÓÌÉÔØ ÓÈÅÍÏÊ ÒÁÚÍÅÒÁ O(n) É ÇÌÕÂÉÎÙ O(log n), ÔÏ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ.
ëÁË ÍÙ ÕÐÏÍÉÎÁÌÉ, ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÂÉÔÏ× ÐÅÒÅÎÏÓÁ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ,
ÔÁË ÞÔÏ ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒÅÍÙ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÎÁÕÞÉÔØÓÑ ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÔØ ÐÁ-
ÒÁÌÌÅÌØÎÏ ×ÓÅ ¥ÓÕÆÆÉËÓÙ¥ Ä×ÕÈ n-ÂÉÔÏ×ÙÈ ÞÉÓÅÌ x
1
. . . x
n
É y
1
. . . y
n
, Ô. Å.
ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ i ÓÒÁ×ÎÉÔØ ÞÉÓÌÁ x
i
x
i+1
. . . x
n
É y
i
y
i+1
. . . y
n
.
÷ÓÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÄÅÌÁÌÉ ÐÒÉ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÉ ÞÉÓÅÌ (ÓËÁÖÅÍ, ÄÌÉÎÙ 8). îÁ
ÎÉÖÎÅÍ ÕÒÏ×ÎÅ ÍÙ ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÌÉ ÂÉÔÙ:
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
x
8
y
1
y
2
y
3
y
4
y
5
y
6
y
7
y
8
îÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÕÒÏ×ÎÅ ÍÙ ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÌÉ Ä×ÕÚÎÁÞÎÙÅ ÞÉÓÌÁ
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
x
8
y
1
y
2
y
3
y
4
y
5
y
6
y
7
y
8
ÚÁÔÅÍ ÞÅÔÙÒ¾ÈÚÎÁÞÎÙÅ
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
x
8
y
1
y
2
y
3
y
4
y
5
y
6
y
7
y
8
§3. óÈÅÍÙ ÉÚ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×                                       77

   úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÔÅÏÒÅÍÕ 25 ÌÅÇËÏ ×Ù×ÅÓÔÉ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ 26: ÞÔÏÂÙ ÓÒÁ×ÎÉÔØ
ÞÉÓÌÁ x É y, ÓÌÏÖÉÍ ÞÉÓÌÏ (2n − 1) − x (ÔÏ ÅÓÔØ ÞÉÓÌÏ x, × ËÏÔÏÒÏÍ ×ÓÅ
ÅÄÉÎÉÃÙ ÚÁÍÅÎÅÎÙ ÎÕÌÑÍÉ É ÎÁÏÂÏÒÏÔ) É ÞÉÓÌÏ y. åÓÌÉ × ÓÔÁÒÛÅÍ ÒÁÚÒÑÄÅ
ÐÏÑ×ÉÔÓÑ ÅÄÉÎÉÃÁ, ÔÏ y > x, Á ÅÓÌÉ ÎÅÔ, ÔÏ y 6 x. ïÓÔÁ¾ÔÓÑ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ
É ÓÌÏÖÅÎÉÅ, É ÏÂÒÁÝÅÎÉÅ ÂÉÔÏ× × ÞÉÓÌÅ x ÔÒÅÂÕÀÔ ÓÈÅÍ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÁÚÍÅ-
ÒÁ. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÞÉÓÅÌ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÀ ÂÉÔÁ ÐÅÒÅÎÏÓÁ.
÷ÅÒÎÏ É ÏÂÒÁÔÎÏÅ: ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÂÉÔÁ ÐÅÒÅÎÏÓÁ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ä×ÕÈ
ÞÉÓÅÌ (ÏÂÒÁÔÉÍ × ÏÄÎÏÍ ÉÚ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ ×ÓÅ ÂÉÔÙ).
   ôÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÑ, ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÎÁÑ ÐÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÔÅÏÒÅ-
ÍÙ 25, ÉÍÅÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÐÒÅÉÍÕÝÅÓÔ×Á. îÁÚÏ×¾Í ÇÌÕÂÉÎÏÊ ÓÈÅÍÙ ÍÁËÓÉ-
ÍÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÎÁ ÐÕÔÉ ÏÔ ×ÈÏÄÁ Ë ×ÙÈÏÄÕ. åÓÌÉ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ
ÓÅÂÅ, ÞÔÏ ÓÉÇÎÁÌ ÎÁ ×ÙÈÏÄÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÐÏÑ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅ ÓÒÁÚÕ ÐÏÓÌÅ ÐÏÄÁÞÉ ÓÉÇ-
ÎÁÌÏ× ÎÁ ×ÈÏÄÙ, Á Ó ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÚÁÄÅÒÖËÏÊ, ÔÏ ÇÌÕÂÉÎÁ ÓÈÅÍÙ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ
ÓÕÍÍÁÒÎÕÀ ÚÁÄÅÒÖËÕ. ìÅÇËÏ ÐÏÎÑÔØ, ÞÔÏ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÁÑ ÓÈÅÍÁ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÉÍÅ-
ÌÁ ÇÌÕÂÉÎÕ O(log n) (ÞÉÓÌÏ ÕÒÏ×ÎÅÊ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÏ ÌÏÇÁÒÉÆÍÕ ÒÁÚÍÅÒÁ
×ÈÏÄÁ), × ÔÏ ×ÒÅÍÑ ËÁË ÐÏÓÔÒÏÅÎÎÁÑ ÔÏÌØËÏ ÞÔÏ ÓÈÅÍÁ ÓÌÏÖÅÎÉÑ ÉÍÅÅÔ ÇÌÕ-
ÂÉÎÕ, ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÕÀ n (ÂÉÔÙ ÐÅÒÅÎÏÓÁ ×ÙÞÉÓÌÑÀÔÓÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
ÓÐÒÁ×Á ÎÁÌÅ×Ï). îÏ ÍÏÖÎÏ ÓÏÅÄÉÎÉÔØ ÜÔÉ Ä×Á ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ:
  ôÅÏÒÅÍÁ 27. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÈÅÍÁ ÓÌÏÖÅÎÉÑ Ä×ÕÈ n-ÂÉÔÏ×ÙÈ ÞÉÓÅÌ ÒÁÚ-
ÍÅÒÁ O(n) É ÇÌÕÂÉÎÙ O(log n).
  äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ëÁË ÍÙ ×ÉÄÅÌÉ, ÐÒÏÂÌÅÍÁ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÂÉÔÙ ÐÅÒÅÎÏÓÁ ×Ù-
ÞÉÓÌÑÀÔÓÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Á ÎÅ ÐÁÒÁÌÌÅÌØÎÏ. åÓÌÉ ÕÄÁÓÔÓÑ ÉÈ ×ÓÅ ×ÙÞÉ-
ÓÌÉÔØ ÓÈÅÍÏÊ ÒÁÚÍÅÒÁ O(n) É ÇÌÕÂÉÎÙ O(log n), ÔÏ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ.
  ëÁË ÍÙ ÕÐÏÍÉÎÁÌÉ, ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÂÉÔÏ× ÐÅÒÅÎÏÓÁ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ,
ÔÁË ÞÔÏ ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒÅÍÙ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÎÁÕÞÉÔØÓÑ ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÔØ ÐÁ-
ÒÁÌÌÅÌØÎÏ ×ÓÅ ¥ÓÕÆÆÉËÓÙ¥ Ä×ÕÈ n-ÂÉÔÏ×ÙÈ ÞÉÓÅÌ x1 . . . xn É y1 . . . yn , Ô. Å.
ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ i ÓÒÁ×ÎÉÔØ ÞÉÓÌÁ xixi+1 . . . xn É yi yi+1 . . . yn .
  ÷ÓÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÄÅÌÁÌÉ ÐÒÉ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÉ ÞÉÓÅÌ (ÓËÁÖÅÍ, ÄÌÉÎÙ 8). îÁ
ÎÉÖÎÅÍ ÕÒÏ×ÎÅ ÍÙ ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÌÉ ÂÉÔÙ:
                         x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
                         y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8
îÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÕÒÏ×ÎÅ ÍÙ ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÌÉ Ä×ÕÚÎÁÞÎÙÅ ÞÉÓÌÁ
                            x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
                            y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8
ÚÁÔÅÍ ÞÅÔÙÒ¾ÈÚÎÁÞÎÙÅ
                             x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
                             y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8

Страницы