Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

90 çÌÁ×Á IV. éÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ
úÁÄÁÞÁ 121. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ, Á ÔÁËÖÅ ÏÂÒÁÔÎÙÅ
Ë ÎÉÍ (ÍÅÎÑÅÍ ÍÅÓÔÁÍÉ ÐÏÓÙÌËÕ É ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÅÏÒÅÍÁÍÉ ÉÓ-
ÞÉÓÌÅÎÉÑ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ:
((A ∨ B) → C) → ((A → C) ∧ (B → C)),
((A ∧ C) ∨ (B ∧ C)) → ((A ∨ B) ∧ C),
((A ∨ C) ∧ (B ∨ C)) → ((A ∧ B) ∨ C).
õ ÎÁÓ ÏÓÔÁÌÉÓØ Åݾ ÔÒÉ ÁËÓÉÏÍÙ, ËÁÓÁÀÝÉÅÓÑ ÏÔÒÉÃÁÎÉÑ. áËÓÉÏÍÁ 9
ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÔ, ÞÔÏ ÉÚ ÐÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉ×ÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÐÏÓÙÌÏË ÍÏÖÎÏ ×Ù×ÅÓÔÉ ÞÔÏ
ÕÇÏÄÎÏ: ÅÓÌÉ • ` A É • ` ¬A, ÔÏ • ` B ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ B. áËÓÉÏÍÁ 10, ÎÁÐÒÏ-
ÔÉ×, ÏÂßÑÓÎÑÅÔ, ËÁË ÍÏÖÎÏ ×Ù×ÅÓÔÉ ÏÔÒÉÃÁÎÉÅ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ A: ÎÁÄÏ
ÄÏÐÕÓÔÉÔØ A É ×Ù×ÅÓÔÉ Ä×Á ÐÒÏÔÉ×ÏÐÏÌÏÖÎÙÈ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÑ B É ¬B. ôÏÞÎÅÅ
ÇÏ×ÏÒÑ, ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÔÁËÏÅ ÐÒÁ×ÉÌÏ:
•, A ` B •, A ` ¬B
• ` ¬A
(× ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, Ä×ÁÖÄÙ ÐÒÉÍÅÎÑÅÍ ÌÅÍÍÕ Ï ÄÅÄÕËÃÉÉ, Á ÚÁÔÅÍ ÐÒÁ×ÉÌÏ MP
Ó ÁËÓÉÏÍÏÊ 10).
áËÓÉÏÍÙ 9 É 10 ÐÏÚ×ÏÌÑÀÔ ×Ù×ÅÓÔÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÚÁËÏÎÙ, Ó×Ñ-
ÚÁÎÎÙÅ Ó ÏÔÒÉÃÁÎÉÅÍ. äÏËÁÖÅÍ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÞÔÏ (ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÆÏÒÍÕÌ A É B)
ÆÏÒÍÕÌÁ
(A → B) → (¬B → ¬A)
(¥ÚÁËÏÎ ËÏÎÔÒÁÐÏÚÉÃÉÉ¥) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÅÏÒÅÍÏÊ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ. ÷
ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÐÏ ÌÅÍÍÅ Ï ÄÅÄÕËÃÉÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ, ÞÔÏ
(A → B), ¬B ` ¬A.
äÌÑ ÜÔÏÇÏ, × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×Ù×ÅÓÔÉ ÉÚ ÐÏÓÙÌÏË (A → B), ¬B, A
ËÁËÕÀ-ÌÉÂÏ ÆÏÒÍÕÌÕ É Å¾ ÏÔÒÉÃÁÎÉÅ (× ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÆÏÒÍÕÌÙ B É ¬B).
úÁÄÁÞÁ 122. ÷Ù×ÅÄÉÔÅ ÆÏÒÍÕÌÙ A → ¬¬A É ¬¬¬A → ¬A Ó ÐÏÍÏÝØÀ
ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÈ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ.
ðÏÓÌÅÄÎÑÑ ÁËÓÉÏÍÁ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÁÑ ¥ÚÁËÏÎÏÍ ÉÓËÌÀÞ¾ÎÎÏÇÏ ÔÒÅÔØÅÇÏ¥, É ÉÎÏ-
ÇÄÁ ÞÉÔÁÅÍÁÑ ËÁË ¥ÔÒÅÔØÅÇÏ ÎÅ ÄÁÎÏ¥ (tertium non datur × ÌÁÔÉÎÓËÏÍ ÏÒÉ-
ÇÉÎÁÌÅ), ×ÙÚ×ÁÌÁ × ÐÅÒ×ÏÊ ÐÏÌÏ×ÉÎÅ ×ÅËÁ ÂÏÌØÛÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÓÐÏÒÏ×. (÷
ÉÎÔÕÉÃÉÏÎÉÓÔÓËÏÊ ÌÏÇÉËÅ ÜÔÏÊ ÁËÓÉÏÍÙ ÎÅÔ.)
éÚ Îž ÍÏÖÎÏ ×Ù×ÅÓÔÉ ÚÁËÏÎ ¥ÓÎÑÔÉÑ Ä×ÏÊÎÏÇÏ ÏÔÒÉÃÁÎÉÑ¥,ÉÍÅÀÝÉÊ ×ÉÄ
¬¬A → A. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ A ∨ ¬A, ¬¬A ` A. ðÏ
ÐÒÁ×ÉÌÕ ÒÁÚÂÏÒÁ ÓÌÕÞÁÅ×, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ, ÞÔÏ A, ¬¬A ` A (ÜÔÏ ÏÞÅ-
×ÉÄÎÏ) É ÞÔÏ ¬A, ¬¬A ` A (Á ÜÔÏ ×ÅÒÎÏ, ÔÁË ËÁË ÉÚ Ä×ÕÈ ÐÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÁÝÉÈ
ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ ÆÏÒÍÕÌ ×Ù×ÏÄÉÔÓÑ ÞÔÏ ÕÇÏÄÎÏ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÁËÓÉÏÍÙ 8).
90                                 çÌÁ×Á IV. éÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ

   úÁÄÁÞÁ 121. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ, Á ÔÁËÖÅ ÏÂÒÁÔÎÙÅ
Ë ÎÉÍ (ÍÅÎÑÅÍ ÍÅÓÔÁÍÉ ÐÏÓÙÌËÕ É ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÅÏÒÅÍÁÍÉ ÉÓ-
ÞÉÓÌÅÎÉÑ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ:
                ((A ∨ B) → C) → ((A → C) ∧ (B → C)),
                  ((A ∧ C) ∨ (B ∧ C)) → ((A ∨ B) ∧ C),
                  ((A ∨ C) ∧ (B ∨ C)) → ((A ∧ B) ∨ C).
   õ ÎÁÓ ÏÓÔÁÌÉÓØ Åݾ ÔÒÉ ÁËÓÉÏÍÙ, ËÁÓÁÀÝÉÅÓÑ ÏÔÒÉÃÁÎÉÑ. áËÓÉÏÍÁ 9
ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÔ, ÞÔÏ ÉÚ ÐÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉ×ÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÐÏÓÙÌÏË ÍÏÖÎÏ ×Ù×ÅÓÔÉ ÞÔÏ
ÕÇÏÄÎÏ: ÅÓÌÉ • ` A É • ` ¬A, ÔÏ • ` B ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ B. áËÓÉÏÍÁ 10, ÎÁÐÒÏ-
ÔÉ×, ÏÂßÑÓÎÑÅÔ, ËÁË ÍÏÖÎÏ ×Ù×ÅÓÔÉ ÏÔÒÉÃÁÎÉÅ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ A: ÎÁÄÏ
ÄÏÐÕÓÔÉÔØ A É ×Ù×ÅÓÔÉ Ä×Á ÐÒÏÔÉ×ÏÐÏÌÏÖÎÙÈ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÑ B É ¬B. ôÏÞÎÅÅ
ÇÏ×ÏÒÑ, ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÔÁËÏÅ ÐÒÁ×ÉÌÏ:
                          •, A ` B     •, A ` ¬B
                                  • ` ¬A
(× ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, Ä×ÁÖÄÙ ÐÒÉÍÅÎÑÅÍ ÌÅÍÍÕ Ï ÄÅÄÕËÃÉÉ, Á ÚÁÔÅÍ ÐÒÁ×ÉÌÏ MP
Ó ÁËÓÉÏÍÏÊ 10).
   áËÓÉÏÍÙ 9 É 10 ÐÏÚ×ÏÌÑÀÔ ×Ù×ÅÓÔÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÚÁËÏÎÙ, Ó×Ñ-
ÚÁÎÎÙÅ Ó ÏÔÒÉÃÁÎÉÅÍ. äÏËÁÖÅÍ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÞÔÏ (ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÆÏÒÍÕÌ A É B)
ÆÏÒÍÕÌÁ
                         (A → B) → (¬B → ¬A)
(¥ÚÁËÏÎ ËÏÎÔÒÁÐÏÚÉÃÉÉ¥) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÅÏÒÅÍÏÊ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ. ÷
ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÐÏ ÌÅÍÍÅ Ï ÄÅÄÕËÃÉÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ, ÞÔÏ
                          (A → B), ¬B ` ¬A.
äÌÑ ÜÔÏÇÏ, × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×Ù×ÅÓÔÉ ÉÚ ÐÏÓÙÌÏË (A → B), ¬B, A
ËÁËÕÀ-ÌÉÂÏ ÆÏÒÍÕÌÕ É Å¾ ÏÔÒÉÃÁÎÉÅ (× ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÆÏÒÍÕÌÙ B É ¬B).
  úÁÄÁÞÁ 122. ÷Ù×ÅÄÉÔÅ ÆÏÒÍÕÌÙ A → ¬¬A É ¬¬¬A → ¬A Ó ÐÏÍÏÝØÀ
ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÈ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ.
   ðÏÓÌÅÄÎÑÑ ÁËÓÉÏÍÁ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÁÑ ¥ÚÁËÏÎÏÍ ÉÓËÌÀÞ¾ÎÎÏÇÏ ÔÒÅÔØÅÇÏ¥, É ÉÎÏ-
ÇÄÁ ÞÉÔÁÅÍÁÑ ËÁË ¥ÔÒÅÔØÅÇÏ ÎÅ ÄÁÎÏ¥ (tertium non datur × ÌÁÔÉÎÓËÏÍ ÏÒÉ-
ÇÉÎÁÌÅ), ×ÙÚ×ÁÌÁ × ÐÅÒ×ÏÊ ÐÏÌÏ×ÉÎÅ ×ÅËÁ ÂÏÌØÛÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÓÐÏÒÏ×. (÷
ÉÎÔÕÉÃÉÏÎÉÓÔÓËÏÊ ÌÏÇÉËÅ ÜÔÏÊ ÁËÓÉÏÍÙ ÎÅÔ.)
   éÚ Îž ÍÏÖÎÏ ×Ù×ÅÓÔÉ ÚÁËÏÎ ¥ÓÎÑÔÉÑ Ä×ÏÊÎÏÇÏ ÏÔÒÉÃÁÎÉÑ¥,ÉÍÅÀÝÉÊ ×ÉÄ
¬¬A → A. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ A ∨ ¬A, ¬¬A ` A. ðÏ
ÐÒÁ×ÉÌÕ ÒÁÚÂÏÒÁ ÓÌÕÞÁÅ×, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ, ÞÔÏ A, ¬¬A ` A (ÜÔÏ ÏÞÅ-
×ÉÄÎÏ) É ÞÔÏ ¬A, ¬¬A ` A (Á ÜÔÏ ×ÅÒÎÏ, ÔÁË ËÁË ÉÚ Ä×ÕÈ ÐÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÁÝÉÈ
ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ ÆÏÒÍÕÌ ×Ù×ÏÄÉÔÓÑ ÞÔÏ ÕÇÏÄÎÏ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÁËÓÉÏÍÙ 8).

Страницы