Математическая логика и теория алгоритмов. Самохин А.В. - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

92 çÌÁ×Á IV. éÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ
üÔÁ ÌÅÍÍÁ ÇÏ×ÏÒÉÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÐÒÉÎÑÔØ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÇÉÐÏÔÅÚ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÉÌÉ
ÌÏÖÎÏÓÔØ ÆÏÒÍÕÌ P É Q, Ñ×ÌÑÀÝÉÈÓÑ ÞÁÓÔÑÍÉ ËÏÎßÀÎËÃÉÉ, ÄÉÚßÀÎËÃÉÉ
ÉÌÉ ÉÍÐÌÉËÁÃÉÉ, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÂÕÄÅÔ ÄÏËÁÚÁÔØ ÉÌÉ ÏÐÒÏ×ÅÒÇÎÕÔØ ×ÓÀ ÆÏÒÍÕÌÕ
(× ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÔÏÇÏ, ÉÓÔÉÎÎÁ ÏÎÁ ÉÌÉ ÌÏÖÎÁ). ðÏÓÌÅÄÎÑÑ ÞÁÓÔØ ÓÏÄÅÒÖÉÔ
ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÐÒÏ ÏÔÒÉÃÁÎÉÅ.
ðÏÓÌÅ ÐÒÅÄÐÒÉÎÑÔÏÊ ÎÁÍÉ ÔÒÅÎÉÒÏ×ËÉ ÄÏËÁÚÁÔØ ÜÔÉ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÎÅÓÌÏÖ-
ÎÏ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÕÂÅÄÉÍÓÑ, ÞÔÏ ¬P ` ¬(P ∧ Q). äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×Ù×ÅÓÔÉ
Ä×Á ÐÒÏÔÉ×ÏÐÏÌÏÖÎÙÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÉÚ ¬P, (P ∧ Q) ¡ ÉÍÉ ÂÕÄÕÔ ÕÔ×ÅÒÖÄÅ-
ÎÉÑ P É ¬P .
ðÒÏ×ÅÒÉÍ Åݾ ÏÄÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ: ¬P, ¬Q ` ¬(P ∨ Q). îÁÍ ÎÁÄÏ ×Ù×ÅÓÔÉ
Ä×Á ÐÒÏÔÉ×ÏÐÏÌÏÖÎÙÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÉÚ ¬P, ¬Q, (P ∨ Q). ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÉÚ
¬P, ¬Q, (P ∨ Q) ÓÌÅÄÕÅÔ ×Ó¾, ÞÔÏ ÕÇÏÄÎÏ. ðÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ ÒÁÚÂÏÒÁ ÓÌÕÞÁÅ× ÄÏÓÔÁ-
ÔÏÞÎÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÉÚ ¬P, ¬Q, P É ÉÚ ¬P, ¬Q, Q ÓÌÅÄÕÅÔ ×Ó¾, ÞÔÏ ÕÇÏÄÎÏ ¡
ÎÏ ÜÔÏ ÍÙ ÚÎÁÅÍ.
õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ, ËÁÓÁÀÝÉÅÓÑ ÉÍÐÌÉËÁÃÉÉ, ÐÒÏÓÔÙ: × ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÍÙ ÚÎÁÅÍ,
ÞÔÏ Q ` (P → Q) ÂÌÁÇÏÄÁÒÑ ÁËÓÉÏÍÅ 1, Á ¬P ` (P → Q) ÂÌÁÇÏÄÁÒÑ ÁËÓÉÏÍÅ 9.
ïÓÔÁÌØÎÙÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÌÅÍÍÙ ÓÔÏÌØ ÖÅ ÐÒÏÓÔÙ.
ôÅÐÅÒØ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ Ï ÒÁÚÂÏÒÅ ÓÌÕÞÁÅ× ÄÌÑ
ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ.
ìÅÍÍÁ 4. ðÕÓÔØ A ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ, ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÁÑ ÉÚ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ
p
1
, . . . , p
n
. ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÔÁÂÌÉÃÙ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÆÏÒÍÕÌÙ A ÉÍÅ-
ÅÔ ÍÅÓÔÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ Ï ×Ù×ÏÄÉÍÏÓÔÉ: ÅÓÌÉ ε
1
, . . . , ε
n
, ε ∈
∈ {0, 1}, É ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ A ÅÓÔØ ε ÐÒÉ p
1
= ε
1
, . . . , p
n
= ε
n
, ÔÏ
¬
ε
1
p
1
, . . . , ¬
ε
n
p
n
` ¬
εA
,
ÇÄÅ ¬
u
ϕ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ϕ ÐÒÉ u = 1 É ¬ϕ ÐÒÉ u = 0 (ÎÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ 1 ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ
ÉÓÔÉÎÕ, Á 0 ¡ ÌÏÖØ).
ìÅÍÍÁ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÎÄÕËÃÉÅÊ ÐÏ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÀ ÆÏÒÍÕÌÙ A. íÙ
ÉÍÅÅÍ ÐÏÓÙÌËÉ, ÕÔ×ÅÒÖÄÁÀÝÉÅ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÉÌÉ ÌÏÖÎÏÓÔØ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, É
ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÐÏÄÆÏÒÍÕÌ (ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ É ÉÄÑ ËÏ ×ÓÅÊ ÆÏÒÍÕÌÅ) ×Ù×ÏÄÉÍ
ÉÈ ÉÌÉ ÉÈ ÏÔÒÉÃÁÎÉÑ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÌÅÍÍÙ 3.
åÓÌÉ ÆÏÒÍÕÌÁ A Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÅÊ, ÔÏ ÉÚ ×ÓÅÈ 2
n
×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÐÏÓÙÌÏË
×Ù×ÏÄÉÔÓÑ ÉÍÅÎÎÏ ÏÎÁ, Á Ίž ÏÔÒÉÃÁÎÉÅ. ôÏÇÄÁ ÐÒÁ×ÉÌÏ ÒÁÚÂÏÒÁ ÓÌÕÞÁÅ×
É ÚÁËÏÎ ÉÓËÌÀÞ¾ÎÎÏÇÏ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÐÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÉÚÂÁ×ÉÔØÓÑ ÏÔ ÐÏÓÙÌÏË: ÓÇÒÕÐ-
ÐÉÒÕÅÍ ÉÈ × ÐÁÒÙ, ÏÔÌÉÞÁÀÝÉÅÓÑ × ÐÏÚÉÃÉÉ p
1
(× ÏÄÎÏÍ ÎÁÂÏÒÅ ÐÏÓÙÌÏË
ÓÔÏÉÔ p
1
, × ÄÒÕÇÏÍ ¬p
1
), ÐÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ ÒÁÚÂÏÒÁ ÓÌÕÞÁÅ× ÚÁÍÅÎÉÍ ÉÈ ÎÁ ÐÏÓÙÌËÕ
(p
1
∨ ¬p
1
), ËÏÔÏÒÕÀ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÏÓÉÔØ (ÏÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁËÓÉÏÍÏÊ). óÄÅÌÁ× ÔÁË
ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÐÁÒ, ÐÏÌÕÞÉÍ 2
n−1
×Ù×ÏÄÏ×, × ÐÏÓÙÌËÁÈ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅÔ p
1
; ÐÏ×ÔÏÒÉÍ
ÜÔÏÔ ÐÒÏÃÅÓÓ Ó ÐÏÓÙÌËÁÍÉ p
2
, ¬p
2
É Ô. Ä. ÷ ËÏÎÃÅ ËÏÎÃÏ× ÍÙ ÕÂÅÄÉÍÓÑ, ÞÔÏ
ÆÏÒÍÕÌÁ A ×Ù×ÏÄÉÍÁ ÂÅÚ ÐÏÓÙÌÏË, ËÁË É ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ÐÏÌÎÏÔÅ.
92                                       çÌÁ×Á IV. éÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ

    üÔÁ ÌÅÍÍÁ ÇÏ×ÏÒÉÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÐÒÉÎÑÔØ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÇÉÐÏÔÅÚ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÉÌÉ
ÌÏÖÎÏÓÔØ ÆÏÒÍÕÌ P É Q, Ñ×ÌÑÀÝÉÈÓÑ ÞÁÓÔÑÍÉ ËÏÎßÀÎËÃÉÉ, ÄÉÚßÀÎËÃÉÉ
ÉÌÉ ÉÍÐÌÉËÁÃÉÉ, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÂÕÄÅÔ ÄÏËÁÚÁÔØ ÉÌÉ ÏÐÒÏ×ÅÒÇÎÕÔØ ×ÓÀ ÆÏÒÍÕÌÕ
(× ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÔÏÇÏ, ÉÓÔÉÎÎÁ ÏÎÁ ÉÌÉ ÌÏÖÎÁ). ðÏÓÌÅÄÎÑÑ ÞÁÓÔØ ÓÏÄÅÒÖÉÔ
ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÐÒÏ ÏÔÒÉÃÁÎÉÅ.
    ðÏÓÌÅ ÐÒÅÄÐÒÉÎÑÔÏÊ ÎÁÍÉ ÔÒÅÎÉÒÏ×ËÉ ÄÏËÁÚÁÔØ ÜÔÉ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÎÅÓÌÏÖ-
ÎÏ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÕÂÅÄÉÍÓÑ, ÞÔÏ ¬P ` ¬(P ∧ Q). äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×Ù×ÅÓÔÉ
Ä×Á ÐÒÏÔÉ×ÏÐÏÌÏÖÎÙÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÉÚ ¬P, (P ∧ Q) ¡ ÉÍÉ ÂÕÄÕÔ ÕÔ×ÅÒÖÄÅ-
ÎÉÑ P É ¬P .
    ðÒÏ×ÅÒÉÍ Åݾ ÏÄÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ: ¬P, ¬Q ` ¬(P ∨ Q). îÁÍ ÎÁÄÏ ×Ù×ÅÓÔÉ
Ä×Á ÐÒÏÔÉ×ÏÐÏÌÏÖÎÙÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÉÚ ¬P, ¬Q, (P ∨ Q). ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÉÚ
¬P, ¬Q, (P ∨ Q) ÓÌÅÄÕÅÔ ×Ó¾, ÞÔÏ ÕÇÏÄÎÏ. ðÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ ÒÁÚÂÏÒÁ ÓÌÕÞÁÅ× ÄÏÓÔÁ-
ÔÏÞÎÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÉÚ ¬P, ¬Q, P É ÉÚ ¬P, ¬Q, Q ÓÌÅÄÕÅÔ ×Ó¾, ÞÔÏ ÕÇÏÄÎÏ ¡
ÎÏ ÜÔÏ ÍÙ ÚÎÁÅÍ.
    õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ, ËÁÓÁÀÝÉÅÓÑ ÉÍÐÌÉËÁÃÉÉ, ÐÒÏÓÔÙ: × ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÍÙ ÚÎÁÅÍ,
ÞÔÏ Q ` (P → Q) ÂÌÁÇÏÄÁÒÑ ÁËÓÉÏÍÅ 1, Á ¬P ` (P → Q) ÂÌÁÇÏÄÁÒÑ ÁËÓÉÏÍÅ 9.
    ïÓÔÁÌØÎÙÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÌÅÍÍÙ ÓÔÏÌØ ÖÅ ÐÒÏÓÔÙ.
    ôÅÐÅÒØ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ Ï ÒÁÚÂÏÒÅ ÓÌÕÞÁÅ× ÄÌÑ
ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ.
    ìÅÍÍÁ 4. ðÕÓÔØ A ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ, ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÁÑ ÉÚ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ
p1, . . . , pn. ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÔÁÂÌÉÃÙ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔÉ ÆÏÒÍÕÌÙ A ÉÍÅ-
ÅÔ ÍÅÓÔÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ Ï ×Ù×ÏÄÉÍÏÓÔÉ: ÅÓÌÉ ε1 , . . . , εn , ε ∈
∈ {0, 1}, É ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ A ÅÓÔØ ε ÐÒÉ p1 = ε1 , . . . , pn = εn , ÔÏ
                           ¬ε1 p1 , . . . , ¬εn pn ` ¬εA ,
ÇÄÅ ¬uϕ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ϕ ÐÒÉ u = 1 É ¬ϕ ÐÒÉ u = 0 (ÎÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ 1 ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ
ÉÓÔÉÎÕ, Á 0 ¡ ÌÏÖØ).
   ìÅÍÍÁ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÎÄÕËÃÉÅÊ ÐÏ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÀ ÆÏÒÍÕÌÙ A. íÙ
ÉÍÅÅÍ ÐÏÓÙÌËÉ, ÕÔ×ÅÒÖÄÁÀÝÉÅ ÉÓÔÉÎÎÏÓÔØ ÉÌÉ ÌÏÖÎÏÓÔØ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, É
ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÐÏÄÆÏÒÍÕÌ (ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ É ÉÄÑ ËÏ ×ÓÅÊ ÆÏÒÍÕÌÅ) ×Ù×ÏÄÉÍ
ÉÈ ÉÌÉ ÉÈ ÏÔÒÉÃÁÎÉÑ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÌÅÍÍÙ 3.
   åÓÌÉ ÆÏÒÍÕÌÁ A Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÅÊ, ÔÏ ÉÚ ×ÓÅÈ 2n ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÐÏÓÙÌÏË
×Ù×ÏÄÉÔÓÑ ÉÍÅÎÎÏ ÏÎÁ, Á Ίž ÏÔÒÉÃÁÎÉÅ. ôÏÇÄÁ ÐÒÁ×ÉÌÏ ÒÁÚÂÏÒÁ ÓÌÕÞÁÅ×
É ÚÁËÏÎ ÉÓËÌÀÞ¾ÎÎÏÇÏ ÔÒÅÔØÅÇÏ ÐÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÉÚÂÁ×ÉÔØÓÑ ÏÔ ÐÏÓÙÌÏË: ÓÇÒÕÐ-
ÐÉÒÕÅÍ ÉÈ × ÐÁÒÙ, ÏÔÌÉÞÁÀÝÉÅÓÑ × ÐÏÚÉÃÉÉ p1 (× ÏÄÎÏÍ ÎÁÂÏÒÅ ÐÏÓÙÌÏË
ÓÔÏÉÔ p1 , × ÄÒÕÇÏÍ ¬p1), ÐÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ ÒÁÚÂÏÒÁ ÓÌÕÞÁÅ× ÚÁÍÅÎÉÍ ÉÈ ÎÁ ÐÏÓÙÌËÕ
(p1 ∨ ¬p1), ËÏÔÏÒÕÀ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÏÓÉÔØ (ÏÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁËÓÉÏÍÏÊ). óÄÅÌÁ× ÔÁË
ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÐÁÒ, ÐÏÌÕÞÉÍ 2n−1 ×Ù×ÏÄÏ×, × ÐÏÓÙÌËÁÈ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅÔ p1; ÐÏ×ÔÏÒÉÍ
ÜÔÏÔ ÐÒÏÃÅÓÓ Ó ÐÏÓÙÌËÁÍÉ p2, ¬p2 É Ô. Ä. ÷ ËÏÎÃÅ ËÏÎÃÏ× ÍÙ ÕÂÅÄÉÍÓÑ, ÞÔÏ
ÆÏÒÍÕÌÁ A ×Ù×ÏÄÉÍÁ ÂÅÚ ÐÏÓÙÌÏË, ËÁË É ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ÐÏÌÎÏÔÅ.

Страницы