Сборник задач по высшей математике. Часть II. Пределы. Производные. Графики функций. Самохин А.В - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§13. ïÂÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÆÕÎËÃÉÊ 105
ÕÂÙ×ÁÀÝÅÊ, ÅÓÌÉ Ó Õ×ÅÌÉÞÅÎÉÅÍ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÕÍÅÎØÛÁÅÔÓÑ
(ÐÒÁ×ÙÊ ÒÉÓÕÎÏË).
13.5. ðÏÎÑÔÉÅ ÏÂÒÁÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ
ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ y = f (x) ÚÁÄÁÎÁ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [a; b] É ÐÕÓÔØ ÏÔÒÅÚÏË [α; β]
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÜÔÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ. ðÕÓÔØ, ËÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ËÁÖÄÏÍÕ
y ÉÚ ÏÔÒÅÚËÁ [α; β] ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ x ÉÚ ÏÔÒÅÚËÁ [a; b],
ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ f(x) = y. ôÏÇÄÁ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [α; β] ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ ÆÕÎËÃÉÑ, ËÏÔÏÒÁÑ
ËÁÖÄÏÍÕ y ÉÚ [α; β] ÓÔÁ×ÉÔ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ x ÉÚ [a; b], ÄÌÑ ËÏÔÏ-
ÒÏÇÏ f(x) = y. üÔÁ ÆÕÎËÃÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÒÁÔÎÏÊ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ y = f (x) É
ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ x = f
−1
(y).
îÁÐÒÉÍÅÒ, ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ y = 8
x
ÏÂÒÁÔÎÏÊ ÓÌÕÖÉÔ ÆÕÎËÃÉÑ y = log
8
x,
Á ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ y = ln x ¡ ÆÕÎËÃÉÑ y = e
x
. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÇÒÁÆÉËÉ ÐÒÑ-
ÍÏÊ É ÏÂÒÁÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÙ ÐÅÒ×ÏÇÏ
É ÔÒÅÔØÅÇÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÈ ÕÇÌÏ×.
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ
éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÆÕÎËÃÉÀ ÎÁ Þ¾ÔÎÏÓÔØ Í ÎÅÞ¾ÔÎÏÓÔØ:
639. y = cos x + x sin x;
640. y = x · 2
−x
;
641. y = (x − 2)
2
3
+ (x + 2)
2
3
;
642. y = 2x sin
2
x − 3x
3
;
643. y =
1
3
x
− 3
x
;
644. y =
x
sin x
;
645. y = 5 log
2
(x + 1);
646. y = x · 4
−x
2
;
§13. ïÂÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÆÕÎËÃÉÊ                                             105

ÕÂÙ×ÁÀÝÅÊ, ÅÓÌÉ Ó Õ×ÅÌÉÞÅÎÉÅÍ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÕÍÅÎØÛÁÅÔÓÑ
(ÐÒÁ×ÙÊ ÒÉÓÕÎÏË).

13.5. ðÏÎÑÔÉÅ ÏÂÒÁÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ

   ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ y = f (x) ÚÁÄÁÎÁ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [a; b] É ÐÕÓÔØ ÏÔÒÅÚÏË [α; β]
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÜÔÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ. ðÕÓÔØ, ËÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ËÁÖÄÏÍÕ
y ÉÚ ÏÔÒÅÚËÁ [α; β] ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ x ÉÚ ÏÔÒÅÚËÁ [a; b],
ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ f (x) = y. ôÏÇÄÁ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [α; β] ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ ÆÕÎËÃÉÑ, ËÏÔÏÒÁÑ
ËÁÖÄÏÍÕ y ÉÚ [α; β] ÓÔÁ×ÉÔ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ x ÉÚ [a; b], ÄÌÑ ËÏÔÏ-
ÒÏÇÏ f (x) = y. üÔÁ ÆÕÎËÃÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÒÁÔÎÏÊ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ y = f (x) É
ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ x = f −1(y).
   îÁÐÒÉÍÅÒ, ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ y = 8x ÏÂÒÁÔÎÏÊ ÓÌÕÖÉÔ ÆÕÎËÃÉÑ y = log8 x,
Á ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ y = ln x ¡ ÆÕÎËÃÉÑ y = ex . ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÇÒÁÆÉËÉ ÐÒÑ-




ÍÏÊ É ÏÂÒÁÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÙ ÐÅÒ×ÏÇÏ
É ÔÒÅÔØÅÇÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÈ ÕÇÌÏ×.

úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ

éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÆÕÎËÃÉÀ ÎÁ Þ¾ÔÎÏÓÔØ Í ÎÅÞ¾ÔÎÏÓÔØ:
  639. y = cos x + x sin x;
  640. y = x · 2−x;
                      2        2
  641. y = (x − 2) 3 + (x + 2) 3 ;
  642. y = 2xsin2 x − 3x3;
                 x
  643. y = 31 − 3x ;
  644. y = sinx x ;
  645. y = 5 log2 (x + 1);
                    2
  646. y = x · 4−x ;

Страницы