Сборник задач по высшей математике. Часть II. Пределы. Производные. Графики функций. Самохин А.В - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

106 çÌÁ×Á IV. ðÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÇÒÁÆÉËÏ× ÆÕÎËÃÉÊ
647. y = log
2
2−x
2+x
;
648. y =
3
x
+3
−x
3
x
−3
−x
;
649. y = 5
−x
2
;
650. y = x
2
− x;
651. y = x
3
+ x
2
.
îÁÊÔÉ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÊ ÐÅÒÉÏÄ ÆÕÎËÃÉÉ:
652. y = sin 4x;
653. y = tg
x
2
;
654. y = sin x + cos 2x;
655. y = cos
2
3x;
656. y = sin 3x + sin 2x;
657. y = |sin x|;
658. y = sin(3x + 1);
659. y = sin
4
x + cos
4
x;
660. y = sin
2 x
3
;
661. y =
cos
x
2
.
§14. îÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÓÔØ É ÔÏÞËÉ ÒÁÚÒÙ×Á ÆÕÎËÃÉÉ
14.1. îÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÓÔØ
æÕÎËÃÉÑ y = f(x) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÊ × ÔÏÞËÅ x
0
, ÅÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ
ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÜÔÏÊ ÔÏÞËÉ (×ËÌÀÞÁÑ ÓÁÍÕ ÔÏÞËÕ) É
ÐÒÅÄÅÌ ÆÕÎËÃÉÉ × ÔÏÞËÅ x
0
ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ É ÒÁ×ÅÎ ÚÎÁÞÅÎÉÀ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÁÍÏÊ
ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ, ÔÏ ÅÓÔØ
lim
x→x
0
f(x) = f(x
0
) = f
lim
x→x
0
x
.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ðÒÉÒÁÝÅÎÉÅ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ 4f (x) = f(x) − f(x
0
)
ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë ÎÕÌÀ ÐÒÉ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÉ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ 4x, ÓÔÒÅÍÑÝÅÍÓÑ Ë ÎÕÌÀ, ÔÏ
ÅÓÔØ
lim
4x→0
(f(x) − f (x
0
)) = lim
4x→0
4y = 0.
æÕÎËÃÉÑ y = f(x) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÊ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ, ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÏÐÒÅ-
ÄÅÌÅÎÁ ÎÁ ÜÔÏÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ É ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ.
éÔÁË, ÅÓÌÉ ÐÒÉ ÐÏÓÔÅÐÅÎÎÏÍ ÉÚÍÅÎÅÎÉÉ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ÆÕÎËÃÉÉ Å¾ ÚÎÁÞÅÎÉÅ
ÔÁËÖÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ ÐÏÓÔÅÐÅÎÎÏ, ÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÍÁÌÏÍÕ ÉÚ-
ÍÅÎÅÎÉÀ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÍÁÌÏÅ ÉÚÍÅÎÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ.
106                             çÌÁ×Á IV. ðÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÇÒÁÆÉËÏ× ÆÕÎËÃÉÊ
                2−x
  647. y = log2 2+x ;
             x   −x
  648. y = 33x+3
              −3−x ;
                2
  649. y = 5−x ;
  650. y = x2 − x;
  651. y = x3 + x2.
îÁÊÔÉ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÊ ÐÅÒÉÏÄ ÆÕÎËÃÉÉ:
  652. y = sin 4x;
  653. y = tg x2 ;
  654. y = sin x + cos 2x;
  655. y = cos2 3x;
  656. y = sin 3x + sin 2x;
  657. y = | sin x|;
  658. y = sin(3x + 1);
  659. y = sin4 x + cos4 x;
  660. y = sin2 x3 ;
  661. y = cos x2 .


§14. îÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÓÔØ É ÔÏÞËÉ ÒÁÚÒÙ×Á ÆÕÎËÃÉÉ
14.1. îÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÓÔØ

   æÕÎËÃÉÑ y = f (x) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÊ × ÔÏÞËÅ x0, ÅÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ
ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÜÔÏÊ ÔÏÞËÉ (×ËÌÀÞÁÑ ÓÁÍÕ ÔÏÞËÕ) É
ÐÒÅÄÅÌ ÆÕÎËÃÉÉ × ÔÏÞËÅ x0 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ É ÒÁ×ÅÎ ÚÎÁÞÅÎÉÀ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÁÍÏÊ
ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ, ÔÏ ÅÓÔØ
                                                
                     lim f (x) = f (x0) = f lim x .
                         x→x0              x→x0

   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ðÒÉÒÁÝÅÎÉÅ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ 4f (x) = f (x) − f (x 0)
ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë ÎÕÌÀ ÐÒÉ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÉ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ 4x, ÓÔÒÅÍÑÝÅÍÓÑ Ë ÎÕÌÀ, ÔÏ
ÅÓÔØ
                   lim (f (x) − f (x0)) = lim 4y = 0.
                        4x→0            4x→0

   æÕÎËÃÉÑ y = f (x) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÊ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ, ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÏÐÒÅ-
ÄÅÌÅÎÁ ÎÁ ÜÔÏÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ É ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ.
   éÔÁË, ÅÓÌÉ ÐÒÉ ÐÏÓÔÅÐÅÎÎÏÍ ÉÚÍÅÎÅÎÉÉ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ÆÕÎËÃÉÉ Å¾ ÚÎÁÞÅÎÉÅ
ÔÁËÖÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ ÐÏÓÔÅÐÅÎÎÏ, ÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÍÁÌÏÍÕ ÉÚ-
ÍÅÎÅÎÉÀ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÍÁÌÏÅ ÉÚÍÅÎÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ.

Страницы