Сборник задач по высшей математике. Часть II. Пределы. Производные. Графики функций. Самохин А.В - 124 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

124 çÌÁ×Á IV. ðÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÇÒÁÆÉËÏ× ÆÕÎËÃÉÊ
1. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ f
0
(x).
2. îÁÊÔÉ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÅ ÔÏÞËÉ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÒÏÄÁ, ÔÏ ÅÓÔØ ÔÏÞËÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ
f
0
(x) ÌÉÂÏ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ, ÌÉÂÏ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ (ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÒÁÚÂÉ-
×ÁÀÔ ÞÉÓÌÏ×ÕÀ ÏÓØ ÎÁ ÎÅÐÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ).
3. ÷ ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ÐÏÌÕÞÉ×ÛÉÈÓÑ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏ× ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÚÎÁË ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ
(ÍÏÖÎÏ ÎÁÒÉÓÏ×ÁÔØ ÓÈÅÍÕ). ïÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÎÁÌÉÞÉÅ É ÈÁÒÁËÔÅÒ ÜËÓÔÒÅ-
ÍÕÍÏ×.
4. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ × ÔÏÞËÁÈ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ.
ðÒÉÍÅÒ 7. îÁÊÔÉ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔÉ É ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ
ÆÕÎËÃÉÀ y = x
3
− 9x
2
+ 24x.
òÅÛÅÎÉÅ. 1. éÍÅÅÍ y
0
(x) = 3x
2
− 18x + 24 = 3(x − 2)(x − 4).
2. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ ÐÒÉ x = 2 É ÐÒÉ x = 4. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÏÐÒÅ-
ÄÅÌÅÎÁ ×ÓÀÄÕ, ÚÎÁÞÉÔ, ËÒÏÍÅ Ä×ÕÈ ÎÁÊÄÅÎÎÙÈ ÔÏÞÅË, ÄÒÕÇÉÈ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÈ
ÔÏÞÅË ÎÅÔ.
3. úÎÁË ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÉÚÍÅÎÑÅÔÓÑ × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÁ ÔÁË, ËÁË
ÐÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÌÅ×ÏÍ ÒÉÓÕÎËÅ. ðÒÉ ÐÅÒÅÈÏÄÅ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ x = 2 ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ
ÍÅÎÑÅÔ ÚÎÁË Ó ¤+¥ ÎÁ ¤−¥, ÚÎÁÞÉÔ x = 2 ¡ ÔÏÞËÁ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ. ðÒÉ ÐÅÒÅÈÏÄÅ
ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ x = 4 ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÍÅÎÑÅÔ ÚÎÁË Ó ¤−¥ ÎÁ ¤+¥, ÚÎÁÞÉÔ x = 4 ¡
ÔÏÞËÁ ÍÉÎÉÍÕÍÁ.
4. îÁÈÏÄÉÍ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ × ÔÏÞËÁÈ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ. y
max
= y(2) = 20,
y
min
= y(4) = 16. üÓËÉÚ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ ÉÚÏÂÒÁ־ΠÎÁ ÐÒÁ×ÏÍ ÒÉÓÕÎËÅ.
ðÒÉÍÅÒ 8. îÁÊÔÉ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔÉ É ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ
ÆÕÎËÃÉÀ y =
1
x
2
+1
.
òÅÛÅÎÉÅ. 1. îÁÈÏÄÉÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ: y
0
= −
2x
(x
2
+1)
2
.
2. ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÎÕÌÀ, ÎÁÈÏÄÉÍ ËÒÉÔÉÞÅÓËÕÀ ÔÏÞËÕ ÐÅÒ×ÏÇÏ
ÒÏÄÁ: y
0
= −
2x
(x
2
+1)
2
= 0, ÏÔËÕÄÁ x = 0. äÒÕÇÉÈ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÈ ÔÏÞÅË ÎÅÔ, ÔÁË
124                             çÌÁ×Á IV. ðÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÇÒÁÆÉËÏ× ÆÕÎËÃÉÊ

    1. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ f 0 (x).
    2. îÁÊÔÉ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÅ ÔÏÞËÉ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÒÏÄÁ, ÔÏ ÅÓÔØ ÔÏÞËÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ
       f 0(x) ÌÉÂÏ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ, ÌÉÂÏ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ (ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÒÁÚÂÉ-
       ×ÁÀÔ ÞÉÓÌÏ×ÕÀ ÏÓØ ÎÁ ÎÅÐÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ).
    3. ÷ ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ÐÏÌÕÞÉ×ÛÉÈÓÑ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÏ× ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÚÎÁË ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ
       (ÍÏÖÎÏ ÎÁÒÉÓÏ×ÁÔØ ÓÈÅÍÕ). ïÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÎÁÌÉÞÉÅ É ÈÁÒÁËÔÅÒ ÜËÓÔÒÅ-
       ÍÕÍÏ×.
    4. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ × ÔÏÞËÁÈ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ.
   ðÒÉÍÅÒ 7. îÁÊÔÉ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔÉ É ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ
ÆÕÎËÃÉÀ y = x3 − 9x2 + 24x.
   òÅÛÅÎÉÅ. 1. éÍÅÅÍ y 0 (x) = 3x2 − 18x + 24 = 3(x − 2)(x − 4).
   2. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ ÐÒÉ x = 2 É ÐÒÉ x = 4. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÏÐÒÅ-
ÄÅÌÅÎÁ ×ÓÀÄÕ, ÚÎÁÞÉÔ, ËÒÏÍÅ Ä×ÕÈ ÎÁÊÄÅÎÎÙÈ ÔÏÞÅË, ÄÒÕÇÉÈ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÈ
ÔÏÞÅË ÎÅÔ.
   3. úÎÁË ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÉÚÍÅÎÑÅÔÓÑ × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÁ ÔÁË, ËÁË
ÐÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÌÅ×ÏÍ ÒÉÓÕÎËÅ. ðÒÉ ÐÅÒÅÈÏÄÅ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ x = 2 ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ




ÍÅÎÑÅÔ ÚÎÁË Ó ¤+¥ ÎÁ ¤−¥, ÚÎÁÞÉÔ x = 2 ¡ ÔÏÞËÁ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ. ðÒÉ ÐÅÒÅÈÏÄÅ
ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ x = 4 ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÍÅÎÑÅÔ ÚÎÁË Ó ¤−¥ ÎÁ ¤+¥, ÚÎÁÞÉÔ x = 4 ¡
ÔÏÞËÁ ÍÉÎÉÍÕÍÁ.
   4. îÁÈÏÄÉÍ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ × ÔÏÞËÁÈ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ. ymax = y(2) = 20,
ymin = y(4) = 16. üÓËÉÚ ÇÒÁÆÉËÁ ÆÕÎËÃÉÉ ÉÚÏÂÒÁ־ΠÎÁ ÐÒÁ×ÏÍ ÒÉÓÕÎËÅ.
   ðÒÉÍÅÒ 8. îÁÊÔÉ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÙ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÓÔÉ É ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ
ÆÕÎËÃÉÀ y = x21+1 .
   òÅÛÅÎÉÅ. 1. îÁÈÏÄÉÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ: y 0 = − (x22x +1)2 .
   2. ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÎÕÌÀ, ÎÁÈÏÄÉÍ ËÒÉÔÉÞÅÓËÕÀ ÔÏÞËÕ ÐÅÒ×ÏÇÏ
ÒÏÄÁ: y 0 = − (x22x
                 +1)2 = 0, ÏÔËÕÄÁ x = 0. äÒÕÇÉÈ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÈ ÔÏÞÅË ÎÅÔ, ÔÁË

Страницы