Сборник задач по высшей математике. Часть II. Пределы. Производные. Графики функций. Самохин А.В - 126 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

126 çÌÁ×Á IV. ðÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÇÒÁÆÉËÏ× ÆÕÎËÃÉÊ
16.6. ÷ÔÏÒÏÊ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÊ ÐÒÉÚÎÁË ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ
ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ y = f(x) ÉÍÅÅÔ × ÄÁÎÎÏÊ ËÒÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÅ x
0
ËÏÎÅÞÎÕÀ
×ÔÏÒÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ. ôÏÇÄÁ, ÅÓÌÉ f
00
(x
0
) < 0, ÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ y = f(x) ÉÍÅÅÔ
× ÔÏÞËÅ x
0
ÌÏËÁÌØÎÙÊ ÍÁËÓÉÍÕÍ, Á ÅÓÌÉ f
00
(x
0
) < 0, ÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ y = f(x)
ÉÍÅÅÔ × ÔÏÞËÅ x
0
ÌÏËÁÌØÎÙÊ ÍÉÎÉÍÕÍ.
ðÒÉÍÅÒ 10. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÀ y = x
3
− 9x
2
+ 24x.
òÅÛÅÎÉÅ. éÍÅÅÍ: y
0
= 3x
2
−18x + 24. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ ×
ÔÏÞËÁÈ x = 2 É x = 4. äÁÌÅÅ ÎÁÈÏÄÉÍ: y
00
= 6x − 18; y
00
(2) = −6 < 0, y
00
(4) =
= 6 > 0. úÎÁÞÉÔ, x = 2 ¡ ÔÏÞËÁ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ, Á x = 4 ¡ ÔÏÞËÁ ÍÉÎÉÍÕÍÁ
ÆÕÎËÃÉÉ (ÓÒ. Ó ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÐÒÉÍÅÒÁ 7).
ðÒÉÍÅÒ 11. ÷ÙÑÓÎÉÔØ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÔÏÞËÁ x = 0 ÔÏÞËÏÊ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ
ÆÕÎËÃÉÉ y = x
2
cos x − x
3
.
òÅÛÅÎÉÅ. îÁÈÏÄÉÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÉ:
y
0
= 2x cos x − x
2
sin x − 3x
2
, y
0
(0) = 0.
îÁÈÏÄÉÍ ×ÔÏÒÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÉ:
y
00
= 2 cos x − 4x sin x − x
2
cos x − 6x, y
00
(0) = 2 > 0.
ôÁË ËÁË × ÔÏÞËÅ x = 0 ÐÅÒ×ÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ, Á ×ÔÏÒÁÑ ¡ ÎÅ ÒÁ×ÎÁ
ÎÕÌÀ, ÔÏ ÔÏÞËÁ x = 0 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ. õÞÉÔÙ×ÁÑ Åݾ, ÞÔÏ
×ÔÏÒÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁ, ÎÁÈÏÄÉÍ, ÞÔÏ x = 0 ¡ ÔÏÞËÁ ÍÉÎÉÍÕÍÁ.
16.7. ôÒÅÔÉÊ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÊ ÐÒÉÚÎÁË ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ (Ó
ÐÏÍÏÝØÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ ×ÙÓÛÅÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ)
ðÕÓÔØ n ¡ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ É ÐÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ y = f (x) ÉÍÅ-
ÅÔ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ x
0
ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÐÏÒÑÄËÁ n −1, Á × ÓÁÍÏÊ
ÔÏÞËÅ x
0
¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. ðÕÓÔØ × ÔÏÞËÅ x
0
×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÓÌÅ-
ÄÕÀÝÉÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ:
f
0
(x
0
) = f
00
(x
0
) = . . . = f
(n−1)
(x
0
) = 0, f
(n)
(x
0
) 6= 0.
ôÏÇÄÁ:
1) ÅÓÌÉ n ¡ Þ¾ÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ y = f (x) ÉÍÅÅÔ ÌÏËÁÌØÎÙÊ ÜËÓ-
ÔÒÅÍÕÍ × ÔÏÞËÅ x
0
, Á ÉÍÅÎÎÏ: ÍÁËÓÉÍÕÍ ÐÒÉ f
(n)
(x
0
) < 0 É ÍÉÎÉÍÕÍ ÐÒÉ
f
(n)
(x
0
) > 0;
2) ÅÓÌÉ n ¡ ÎÅÞ¾ÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ y = f(x) ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ
× ÔÏÞËÅ x
0
.
ðÒÉÍÅÒ 12. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÀ y = x
3
.
126                                  çÌÁ×Á IV. ðÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÇÒÁÆÉËÏ× ÆÕÎËÃÉÊ

16.6. ÷ÔÏÒÏÊ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÊ ÐÒÉÚÎÁË ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ

   ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ y = f (x) ÉÍÅÅÔ × ÄÁÎÎÏÊ ËÒÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÅ x0 ËÏÎÅÞÎÕÀ
×ÔÏÒÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ. ôÏÇÄÁ, ÅÓÌÉ f 00(x0) < 0, ÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ y = f (x) ÉÍÅÅÔ
× ÔÏÞËÅ x0 ÌÏËÁÌØÎÙÊ ÍÁËÓÉÍÕÍ, Á ÅÓÌÉ f 00(x0) < 0, ÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ y = f (x)
ÉÍÅÅÔ × ÔÏÞËÅ x0 ÌÏËÁÌØÎÙÊ ÍÉÎÉÍÕÍ.
   ðÒÉÍÅÒ 10. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÀ y = x3 − 9x2 + 24x.
   òÅÛÅÎÉÅ. éÍÅÅÍ: y 0 = 3x2 − 18x + 24. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ ×
ÔÏÞËÁÈ x = 2 É x = 4. äÁÌÅÅ ÎÁÈÏÄÉÍ: y 00 = 6x − 18; y 00 (2) = −6 < 0, y 00 (4) =
= 6 > 0. úÎÁÞÉÔ, x = 2 ¡ ÔÏÞËÁ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ, Á x = 4 ¡ ÔÏÞËÁ ÍÉÎÉÍÕÍÁ
ÆÕÎËÃÉÉ (ÓÒ. Ó ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÐÒÉÍÅÒÁ 7).
   ðÒÉÍÅÒ 11. ÷ÙÑÓÎÉÔØ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÔÏÞËÁ x = 0 ÔÏÞËÏÊ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ
ÆÕÎËÃÉÉ y = x2 cos x − x3 .
   òÅÛÅÎÉÅ. îÁÈÏÄÉÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÉ:
                   y 0 = 2x cos x − x2 sin x − 3x2,      y 0 (0) = 0.
îÁÈÏÄÉÍ ×ÔÏÒÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÉ:
            y 00 = 2 cos x − 4x sin x − x2 cos x − 6x,      y 00 (0) = 2 > 0.
ôÁË ËÁË × ÔÏÞËÅ x = 0 ÐÅÒ×ÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ, Á ×ÔÏÒÁÑ ¡ ÎÅ ÒÁ×ÎÁ
ÎÕÌÀ, ÔÏ ÔÏÞËÁ x = 0 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ. õÞÉÔÙ×ÁÑ Åݾ, ÞÔÏ
×ÔÏÒÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁ, ÎÁÈÏÄÉÍ, ÞÔÏ x = 0 ¡ ÔÏÞËÁ ÍÉÎÉÍÕÍÁ.


16.7. ôÒÅÔÉÊ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÊ ÐÒÉÚÎÁË ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ (Ó
      ÐÏÍÏÝØÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ ×ÙÓÛÅÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ)

   ðÕÓÔØ n ¡ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ É ÐÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ y = f (x) ÉÍÅ-
ÅÔ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ x0 ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÐÏÒÑÄËÁ n − 1, Á × ÓÁÍÏÊ
ÔÏÞËÅ x0 ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ n-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. ðÕÓÔØ × ÔÏÞËÅ x0 ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÓÌÅ-
ÄÕÀÝÉÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ:
            f 0(x0) = f 00(x0) = . . . = f (n−1)(x0) = 0,    f (n) (x0) 6= 0.
ôÏÇÄÁ:
    1) ÅÓÌÉ n ¡ Þ¾ÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ y = f (x) ÉÍÅÅÔ ÌÏËÁÌØÎÙÊ ÜËÓ-
ÔÒÅÍÕÍ × ÔÏÞËÅ x0, Á ÉÍÅÎÎÏ: ÍÁËÓÉÍÕÍ ÐÒÉ f (n) (x0) < 0 É ÍÉÎÉÍÕÍ ÐÒÉ
f (n) (x0) > 0;
    2) ÅÓÌÉ n ¡ ÎÅÞ¾ÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ y = f (x) ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ
× ÔÏÞËÅ x0.
    ðÒÉÍÅÒ 12. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÀ y = x3.

Страницы