Сборник задач по высшей математике. Часть II. Пределы. Производные. Графики функций. Самохин А.В - 143 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§18. ðÏÌÎÏÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ É ÐÏÓÔÒÏÅÎÉŠž ÇÒÁÆÉËÁ 143
ðÒÉÍÅÒ 5. ðÒÏ×ÅÓÔÉ ÐÏÌÎÏÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ É ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ
y =
x
3
2(x+1)
2
.
òÅÛÅÎÉÅ. 1. ïÂÌÁÓÔØ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ¡ ×ÓÑ ÞÉÓÌÏ×ÁÑ ÏÓØ, ËÒÏÍÅ ÔÏÞËÉ
x = −1.
2. æÕÎËÃÉÑ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ.
3. æÕÎËÃÉÑ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÉ Þ¾ÔÎÏÊ, ÎÉ ÎÅÞ¾ÔÎÏÊ.
4. æÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÏÄÎÕ ÔÏÞËÕ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ Ó ÏÓÑÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ¡ ÔÏÞËÕ
(0; 0).
æÕÎËÃÉÑ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁ ÐÒÉ x > 0 É ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÁ ÐÒÉ x < 0.
5. æÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÒÁÚÒÙ× × ÔÏÞËÅ x = −1.
ðÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ÇÒÁÎÉÃÅ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ:
lim
x→−∞
=
x
3
2(x + 1)
2
= −∞, lim
x→+∞
=
x
3
2(x + 1)
2
= +∞,
lim
x→−1−
=
x
3
2(x + 1)
2
= −∞, lim
x→−1+
=
x
3
2(x + 1)
2
= −∞.
ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ × ÔÏÞËÅ x = −1 ÆÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÒÁÚÒÙ× ×ÔÏÒÏÇÏ ÒÏÄÁ.
ðÒÑÍÙÅ x = −1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏÊ ÁÓÉÍÐÔÏÔÏÊ.
îÁÊÄ¾Í ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ ÎÁËÌÏÎÎÏÊ ÁÓÉÍÐÔÏÔÙ:
k = lim
x→∞
yx = lim
x→∞
x
3
2x(x + 1)
2
=
1
2
,
b = lim
x→∞
(y − kx) = lim
x→∞
x
3
2(x + 1)
2
−
1
2
x
= −1.
§18. ðÏÌÎÏÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ É ÐÏÓÔÒÏÅÎÉŠž ÇÒÁÆÉËÁ           143




    ðÒÉÍÅÒ 5. ðÒÏ×ÅÓÔÉ ÐÏÌÎÏÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ É ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÇÒÁÆÉË ÆÕÎËÃÉÉ
        x3
y = 2(x+1) 2.

    òÅÛÅÎÉÅ. 1. ïÂÌÁÓÔØ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ¡ ×ÓÑ ÞÉÓÌÏ×ÁÑ ÏÓØ, ËÒÏÍÅ ÔÏÞËÉ
x = −1.
    2. æÕÎËÃÉÑ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ.
    3. æÕÎËÃÉÑ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÉ Þ¾ÔÎÏÊ, ÎÉ ÎÅÞ¾ÔÎÏÊ.
    4. æÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÏÄÎÕ ÔÏÞËÕ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ Ó ÏÓÑÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ¡ ÔÏÞËÕ
(0; 0).
    æÕÎËÃÉÑ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁ ÐÒÉ x > 0 É ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÁ ÐÒÉ x < 0.
    5. æÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÒÁÚÒÙ× × ÔÏÞËÅ x = −1.
    ðÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ÇÒÁÎÉÃÅ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ:
                     x3                       x3
            lim =           = −∞,    lim =           = +∞,
           x→−∞   2(x + 1)2         x→+∞   2(x + 1)2
                     x3                        x3
            lim =           = −∞,    lim =           = −∞.
          x→−1−   2(x + 1)2         x→−1+  2(x + 1)2
  ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ × ÔÏÞËÅ x = −1 ÆÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÒÁÚÒÙ× ×ÔÏÒÏÇÏ ÒÏÄÁ.
ðÒÑÍÙÅ x = −1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏÊ ÁÓÉÍÐÔÏÔÏÊ.
  îÁÊÄ¾Í ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ ÎÁËÌÏÎÎÏÊ ÁÓÉÍÐÔÏÔÙ:
                                          x3        1
                    k = lim yx = lim            2
                                                  = ,
                        x→∞       x→∞ 2x(x + 1)     2
                                         x3
                                                    
                                                  1
             b = lim (y − kx) = lim            − x = −1.
                 x→∞            x→∞ 2(x + 1)2     2

Страницы