Сборник задач по высшей математике. Часть II. Пределы. Производные. Графики функций. Самохин А.В - 145 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§18. ðÏÌÎÏÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ É ÐÏÓÔÒÏÅÎÉŠž ÇÒÁÆÉËÁ 145
ðÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ÇÒÁÎÉÃÅ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ:
lim
x→−∞
= e
1
x−1
= 1, lim
x→+∞
= e
1
x−1
= 1,
lim
x→1−
= e
1
x−1
= 0, lim
x→1+
= e
1
x−1
= +∞.
ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ × ÔÏÞËÅ x = 1 ÆÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÒÁÚÒÙ× ×ÔÏÒÏÇÏ ÒÏÄÁ.
ðÒÑÍÁÑ x = 1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏÊ ÁÓÉÍÐÔÏÔÏÊ, ÐÒÑÍÁÑ y = 1 ¡ ÇÏÒÉÚÏÎ-
ÔÁÌØÎÏÊ ÁÓÉÍÐÔÏÔÏÊ.
6. îÁÊÄ¾Í ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ: y
0
= −
1
(x−1)
2
e
1
x−1
. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÁ ÎÁ
×ÓÅÊ ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÏÓÉ, ËÒÏÍÅ ÔÏÞËÉ x = 1. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÆÕÎËÃÉÑ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ
ÕÂÙ×ÁÅÔ ×ÓÀÄÕ, ÇÄÅ ÏÎÁ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ.
7. îÁÈÏÄÉÍ ×ÔÏÒÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ: y
00
=
2x−1
(x−1)
4
e
1
x−1
. òÅÛÁÅÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á
y
00
> 0 É y
00
< 0. éÍÅÅÍ: y
00
> 0 ÉÌÉ
2x−1
(x−1)
4
e
1
x−1
> 0, ÏÔËÕÄÁ x >
1
2
, x 6= 1;
y
00
< 0, ÏÔËÕÄÁ x <
1
2
.
ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ×ÔÏÒÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÎÕÌÀ, ÎÁÊÄ¾Í ËÒÉÔÉÞÅÓËÕÀ ÔÏÞËÕ ×ÔÏ-
ÒÏÇÏ ÒÏÄÁ: x =
1
2
. éÚ ÓÈÅÍÙ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁÈ
1
2
; 1
É (1; +∞)
§18. ðÏÌÎÏÅ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ É ÐÏÓÔÒÏÅÎÉŠž ÇÒÁÆÉËÁ                          145




  ðÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ÇÒÁÎÉÃÅ ÏÂÌÁÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ:
                                 1                        1
                      lim = e x−1 = 1,        lim = e x−1 = 1,
                     x→−∞                    x→+∞
                                1                     1
                     lim = e   x−1   = 0,   lim = e x−1 = +∞.
                    x→1−                    x→1+

   ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ × ÔÏÞËÅ x = 1 ÆÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÒÁÚÒÙ× ×ÔÏÒÏÇÏ ÒÏÄÁ.
ðÒÑÍÁÑ x = 1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏÊ ÁÓÉÍÐÔÏÔÏÊ, ÐÒÑÍÁÑ y = 1 ¡ ÇÏÒÉÚÏÎ-
ÔÁÌØÎÏÊ ÁÓÉÍÐÔÏÔÏÊ.
                                            1
                                    1
   6. îÁÊÄ¾Í ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ: y 0 = − (x−1) 2e
                                           x−1 . ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÁ ÎÁ

×ÓÅÊ ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÏÓÉ, ËÒÏÍÅ ÔÏÞËÉ x = 1. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÆÕÎËÃÉÑ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ
ÕÂÙ×ÁÅÔ ×ÓÀÄÕ, ÇÄÅ ÏÎÁ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ.
                                                        1
                                                 2x−1 x−1
   7. îÁÈÏÄÉÍ ×ÔÏÒÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ: y 00 = (x−1)       4e   . òÅÛÁÅÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á
                                                      1
                                             2x−1 x−1
y 00 > 0 É y 00 < 0. éÍÅÅÍ: y 00 > 0 ÉÌÉ    (x−1) 4 e     > 0, ÏÔËÕÄÁ x > 21 , x 6= 1;
y 00 < 0, ÏÔËÕÄÁ x < 12 .




   ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ×ÔÏÒÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÎÕÌÀ, ÎÁÊÄ¾Í ËÒÉÔÉÞÅÓËÕÀ ÔÏÞËÕ ×ÔÏ-
ÒÏÇÏ ÒÏÄÁ: x = 21 . éÚ ÓÈÅÍÙ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁÈ 12 ; 1 É (1; +∞)

Страницы