Сборник задач по высшей математике. Часть IV. Интегралы. Дифференциальные уравнения. Самохин А.В - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ 49
III. ïÂßÅÍ ÔÅÌÁ ×ÒÁÝÅÎÉÑ
ïÂßÅÍ ÔÅÌÁ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÇÏ ×ÒÁÝÅÎÉÅÍ ×ÏËÒÕÇ ÏÓÉ Ox ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÊ
ÔÒÁÐÅÃÉÉ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ y = f(x), ÏÓØÀ Ox É ÐÒÑÍÙÍÉ x = a, x = b,
×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ:
V = π
b
Z
a
[f(x)]
2
dx.
ðÒÉÍÅÒ 16. îÁÊÔÉ ÏÂßÅÍ ÔÅÌÁ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÇÏ ×ÒÁÝÅÎÉÅÍ ÜÌÌÉÐÓÁ ×Ï-
ËÒÕÇ ÏÓÉ Ox
x
2
25
+
y
2
9
= 1.
ôÁË ËÁË y
2
=
9
25
(25 − x
2
), ÐÏÌÕÞÉÍ
V = π
5
Z
−5
9
25
(25 − x
2
) dx = 2π
5
Z
0
9
25
(25 − x
2
) dx =
= 2π ·
9
25
25x −
x
3
3
5
0
= 60π.
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ
÷ÙÞÉÓÌÉÔØ:
287.
2
R
1
(x
2
+ 1) dx;
288.
1
R
0
(
√
x − x
2
) dx;
289.
π
R
0
sin x dx;
290.
π
R
0
sin 2x dx;
291.
3π
R
2π
x sin x dx;
292.
e
R
1
ln x dx;
293.
1
R
−1
dx
x
2
+2x+2
;
294.
π
4
R
0
tg
5
x dx;
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ                                                              49

  III. ïÂßÅÍ ÔÅÌÁ ×ÒÁÝÅÎÉÑ
  ïÂßÅÍ ÔÅÌÁ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÇÏ ×ÒÁÝÅÎÉÅÍ ×ÏËÒÕÇ ÏÓÉ Ox ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÊ
ÔÒÁÐÅÃÉÉ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ y = f (x), ÏÓØÀ Ox É ÐÒÑÍÙÍÉ x = a, x = b,
×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ:
                                             Zb
                                  V =π            [f (x)]2 dx.
                                             a

  ðÒÉÍÅÒ 16. îÁÊÔÉ ÏÂßÅÍ ÔÅÌÁ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÇÏ ×ÒÁÝÅÎÉÅÍ ÜÌÌÉÐÓÁ ×Ï-
              2     2
ËÒÕÇ ÏÓÉ Ox x25 + y9 = 1.
                 9
  ôÁË ËÁË y 2 = 25  (25 − x2 ), ÐÏÌÕÞÉÍ

         Z5                            Z5
               9                             9
 V =π             (25 − x2 ) dx = 2π           (25 − x2) dx =
               25                           25
         −5                            0
                                                                                        5
                                                                               x3
                                                                                   
                                                                9
                                                         = 2π ·          25x −              = 60π.
                                                                25             3        0


úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ

÷ÙÞÉÓÌÉÔØ:
      R2 2
  287. (x + 1) dx;
         1
         R1    √
  288.        ( x − x2) dx;
         0
         Rπ
  289.        sin x dx;
         0
         Rπ
  290.        sin 2x dx;
         0
         R3π
  291.         x sin x dx;
         2π
         Re
  292.        ln x dx;
         1
         R1        dx
  293.         x2 +2x+2
                        ;
         −1
          π
         R4
  294.        tg5 x dx;
         0

Страницы