Сборник задач по высшей математике. Часть IV. Интегралы. Дифференциальные уравнения. Самохин А.В - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§6. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ 79
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÎÅÃÅÌÅÓÏÏÂÒÁÚÎÏ ÐÏÌØ-
ÚÏ×ÁÔØÓÑ ÇÒÏÍÏÚÄËÏÊ É ÔÒÕÄÎÏ ÚÁÐÏÍÉÎÁÅÍÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ (25), Á ÐÒÏÝÅ ÕÓ×Ï-
ÉÔØ ÉÚÌÏÖÅÎÎÙÊ ÓÐÏÓÏ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
É ÐÒÉÍÅÎÑÔØ ÅÇÏ × ËÁÖÄÏÍ ËÏÎËÒÅÔÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ.
ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
dy
dx
−
y
x
= x
2
.
òÅÛÅÎÉÅ. äÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍ. òÅÛÅÎÉÅ ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ
y = uv. îÁÊÄÅÍ y
0
y
0
= u
0
v + uv
0
.
ðÏÄÓÔÁ×ÉÍ y É y
0
× ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
u
0
v + uv
0
−
uv
x
= x
2
.
ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ë ×ÉÄÕ
u
0
v + u
v
0
−
v
x
= x
2
. (26)
îÁÊÄÅÍ ÆÕÎËÃÉÀ v ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ × ÓËÏÂËÁÈ ÏÂÒÁÔÉÌÏÓØ × ÎÕÌØ.
v
0
−
v
x
= 0 ⇒
dv
dx
=
v
x
.
ðÏÌÕÞÉÌÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ.
dv
v
=
dx
x
.
ïÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
ln |v| = ln |cx|.
îÁÍ ÎÕÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÏÄÎÕ ËÁËÕÀ-ÌÉÂÏ ÆÕÎËÃÉÀ v, ÐÏÌÏÖÉÍ c = 1. ðÏÌÕÞÉÍ
v = x.
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ v = x × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (26):
xu
0
= x
2
⇒ du = x dx ⇒ u =
x
2
2
+ C.
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ u É v × y = uv, ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÇÏ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
y = x
x
2
2
+ C
.
ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
y
0
− 2xy =
√
x e
x
2
.
§6. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ                        79

ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÎÅÃÅÌÅÓÏÏÂÒÁÚÎÏ ÐÏÌØ-
ÚÏ×ÁÔØÓÑ ÇÒÏÍÏÚÄËÏÊ É ÔÒÕÄÎÏ ÚÁÐÏÍÉÎÁÅÍÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ (25), Á ÐÒÏÝÅ ÕÓ×Ï-
ÉÔØ ÉÚÌÏÖÅÎÎÙÊ ÓÐÏÓÏ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÏÂÝÅÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
É ÐÒÉÍÅÎÑÔØ ÅÇÏ × ËÁÖÄÏÍ ËÏÎËÒÅÔÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ.
   ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
                                dy y
                                    − = x2 .
                                dx x
   òÅÛÅÎÉÅ. äÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍ. òÅÛÅÎÉÅ ÉÝÅÍ × ×ÉÄÅ
y = uv. îÁÊÄÅÍ y 0
                               y 0 = u0 v + uv 0 .
ðÏÄÓÔÁ×ÉÍ y É y 0 × ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
                                          uv
                            u0v + uv 0 −       = x2 .
                                           x
ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ë ×ÉÄÕ
                            0
                                    
                                       0   v
                           uv+u v −             = x2 .            (26)
                                           x
îÁÊÄÅÍ ÆÕÎËÃÉÀ v ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ × ÓËÏÂËÁÈ ÏÂÒÁÔÉÌÏÓØ × ÎÕÌØ.
                                v           dv     v
                           v0 − = 0 ⇒           = .
                                x           dx x
ðÏÌÕÞÉÌÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó ÒÁÚÄÅÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ.
                                   dv     dx
                                      =      .
                                   v      x
ïÂÝÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
                             ln |v| = ln |cx|.
îÁÍ ÎÕÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÏÄÎÕ ËÁËÕÀ-ÌÉÂÏ ÆÕÎËÃÉÀ v, ÐÏÌÏÖÉÍ c = 1. ðÏÌÕÞÉÍ
                                 v = x.
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ v = x × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (26):
                     0   2                  x2
                 xu = x ⇒ du = x dx ⇒ u =      + C.
                                            2
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ u É v × y = uv, ÐÏÌÕÞÉÍ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÇÏ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ                        2    
                                  x
                          y=x        +C .
                                   2
  ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ ÏÂÝÅÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
                                     √   2
                         y 0 − 2xy = x ex .

Страницы