Сборник задач по высшей математике. Часть IV. Интегралы. Дифференциальные уравнения. Самохин А.В - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§6. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ 77
450. y
0
=
y
x+y
;
451. x dy = y(1 + ln y −ln x) dx;
452. y
0
=
−x+2y−4
2x−y+5
;
453. y
0
= −
2x+3y−1
4x+6y−5
;
454. y
2
+ x
2
y
0
= xyy
0
;
455. (x
2
+ y
2
)y
0
= 2xy;
456. xy
0
− y = x ln
y
x
;
457. xy
0
= y −xe
y/x
;
458. xy
0
− y = (x + y) ln
x+y
x
;
459. xy
0
= y cos ln
y
x
;
460. (y +
√
xy) dx = x dy;
461. xy
0
=
p
x
2
− y
2
+ y;
462. (2x − 4y + 6) dx + (x + y − 3) dy = 0;
463. (2x + y + 1) dx − (4x + 2y − 3) dy = 0;
464. (x − y − 1) + (y − x + 2)y
0
= 0;
465. (x + 2y) dx − x dy = 0;
466. (x − y) dx + (x + y) dy = 0;
467. (y
2
− 2xy) dx + x
2
dy = 0;
468. 2x
3
y
0
= y(2x
2
− y
2
);
469. y
2
+ x
2
y
0
= xyy
0
.
§6. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ
ÐÏÒÑÄËÁ. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. ìÉÎÅÊÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏ-
ÒÑÄËÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ:
y
0
+ P (x)y = Q(x), (22)
ÇÄÅ P (x), Q(x) ¡ ÆÕÎËÃÉÉ, ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÅ ÎÁ ÚÁÄÁÎÎÏÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (a, b).
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÓÔÁÎÏ×ÑÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ, ÅÓÌÉ × ÎÉÈ
ÐÏÍÅÎÑÔØ ÒÏÌÑÍÉ ÆÕÎËÃÉÀ É ÁÒÇÕÍÅÎÔ.
6.1. íÅÔÏÄ âÅÒÎÕÌÌÉ ÒÅÛÅÎÉÑ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ
ðÏ ÍÅÔÏÄÕ âÅÒÎÕÌÌÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÉÝÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ
y = u(x)v(x),
ÇÄÅ u(x), v(x) ¡ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ.
§6. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ                       77
                 y
  450.   y 0 = x+y  ;
  451.   x dy = y(1 + ln y − ln x) dx;
  452.   y 0 = −x+2y−4
                2x−y+5
                         ;
                  2x+3y−1
  453.   y 0 = − 4x+6y−5   ;
  454.   y + x y = xyy 0 ;
           2     2 0

  455.   (x2 + y 2 )y 0 = 2xy;
  456.   xy 0 − y = x ln xy ;
  457.   xy 0 = y − xey/x ;
  458.   xy 0 − y = (x + y) ln x+y
                                 x ;
                           y
  459.       0
         xy = y cos ln x ;
               √
  460.   (y + xy) dx = x dy;
                 p
  461.       0
         xy = x2 − y 2 + y;
  462.   (2x − 4y + 6) dx + (x + y − 3) dy = 0;
  463.   (2x + y + 1) dx − (4x + 2y − 3) dy = 0;
  464.   (x − y − 1) + (y − x + 2)y 0 = 0;
  465.   (x + 2y) dx − x dy = 0;
  466.   (x − y) dx + (x + y) dy = 0;
  467.   (y 2 − 2xy) dx + x2 dy = 0;
  468.   2x3y 0 = y(2x2 − y 2 );
  469.   y 2 + x2 y 0 = xyy 0 .


§6. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÅÒ×ÏÇÏ
    ÐÏÒÑÄËÁ. õÒÁ×ÎÅÎÉÑ âÅÒÎÕÌÌÉ
  ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. ìÉÎÅÊÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏ-
ÒÑÄËÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ×ÉÄÁ:
                              y 0 + P (x)y = Q(x),               (22)
ÇÄÅ P (x), Q(x) ¡ ÆÕÎËÃÉÉ, ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÅ ÎÁ ÚÁÄÁÎÎÏÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (a, b).
   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÓÔÁÎÏ×ÑÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ, ÅÓÌÉ × ÎÉÈ
ÐÏÍÅÎÑÔØ ÒÏÌÑÍÉ ÆÕÎËÃÉÀ É ÁÒÇÕÍÅÎÔ.

6.1. íÅÔÏÄ âÅÒÎÕÌÌÉ ÒÅÛÅÎÉÑ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ

  ðÏ ÍÅÔÏÄÕ âÅÒÎÕÌÌÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÉÝÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ
                                 y = u(x)v(x),
ÇÄÅ u(x), v(x) ¡ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ.

Страницы