Сборник задач по высшей математике. Часть IV. Интегралы. Дифференциальные уравнения. Самохин А.В - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

84 çÌÁ×Á II. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
É ÎÁÊÄÅÍ v ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ × ÓËÏÂËÁÈ ÏÂÒÁÔÉÌÏÓØ × ÎÕÌØ:
v
0
−
v
2x
= 0 ⇒
dv
v
=
dx
2x
⇒
Z
dv
v
=
1
2
Z
dx
x
⇒
⇒ ln |v| =
1
2
ln |x| ⇒ v =
√
x
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ v =
√
x × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (29), ÐÏÌÕÞÉÍ:
u
0
v =
x
2
2uv
⇒
du
dx
√
x =
x
2
u
√
x
⇒ u du =
x dx
2
⇒
u
2
2
=
x
2
4
+ c
1
⇒
⇒ u
2
=
x
2
2
+ c, ÇÄÅ c = 2c
1
.
ïÔÓÀÄÁ
u = ±
r
x
2
2
+ c.
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ u, v × y = uv, ÐÏÌÕÞÉÍ:
y = ±
r
x
3
2
+ cx.
ðÒÉÍÅÒ 7. îÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y
0
−
4y
x
= x
√
y, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ
ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ y(1) = 1.
òÅÛÅÎÉÅ. äÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ âÅÒÎÕÌÌÉ, ÐÒÉ ÜÔÏÍ
n =
1
2
. éÝÅÍ ÒÅÛÅÎÉÅ × ×ÉÄÅ y = uv. îÁÈÏÄÉÍ y
0
É ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ y É y
0
=
= u
0
v + uv
0
× ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
u
0
v + uv
0
−
4uv
x
= x
√
uv.
ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
u
0
v + u
v
0
−
uv
x
= x
√
uv (30)
É ÎÁÈÏÄÉÍ v:
v
0
−
4v
x
= 0 ⇒
dv
v
= 4
dx
x
⇒ ln |v| = 4 ln |x| ⇒ v = x
4
.
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ v = x
4
× ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (30), ÐÏÌÕÞÁÅÍ
x
4
du
dx
= x
√
u · x
2
⇒
du
√
u
=
dx
x
,
Z
du
√
u
=
Z
dx
x
+ c ⇒ 2
√
u = ln |x|+ c ⇒ u =
1
4
(ln |x|+ c)
2
.
84                                  çÌÁ×Á II. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ

É ÎÁÊÄÅÍ v ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ × ÓËÏÂËÁÈ ÏÂÒÁÔÉÌÏÓØ × ÎÕÌØ:
                    v        dv    dx     dv   1 dx
                                        Z        Z
                0
              v −     =0⇒       =     ⇒      =        ⇒
                   2x         v    2x      v   2   x
                                 1            √
                      ⇒ ln |v| = ln |x| ⇒ v = x
                                 2
                √
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ v = x × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (29), ÐÏÌÕÞÉÍ:
         0       x2    du √      x2                x dx    u2    x2
         uv =       ⇒      x = √ ⇒ u du =                ⇒     =    + c1 ⇒
                2uv    dx       u x                  2      2     4
                              2   x2
                          ⇒u =         + c, ÇÄÅ c = 2c1.
                                   2
ïÔÓÀÄÁ
                                         r
                                            x2
                                 u=±           + c.
                                            2
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ u, v × y = uv, ÐÏÌÕÞÉÍ:
                                         r
                                           x3
                                y=±            + cx.
                                           2
                                                             √
   ðÒÉÍÅÒ 7. îÁÊÔÉ ÒÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y 0 − 4y          x
                                                         = x  y, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ
ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ y(1) = 1.
   òÅÛÅÎÉÅ. äÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ âÅÒÎÕÌÌÉ, ÐÒÉ ÜÔÏÍ
n = 12 . éÝÅÍ ÒÅÛÅÎÉÅ × ×ÉÄÅ y = uv. îÁÈÏÄÉÍ y 0 É ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍ y É y 0 =
= u0 v + uv 0 × ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
                                          4uv      √
                            u0v + uv 0 −       = x uv.
                                           x
ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
                            0
                                   
                                       0   uv       √
                           uv+u v −             = x uv                       (30)
                                            x
É ÎÁÈÏÄÉÍ v:
               4v        dv     dx
             v0 − =0⇒       =4     ⇒ ln |v| = 4 ln |x| ⇒ v = x4.
                x         v     x
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ v = x4 × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (30), ÐÏÌÕÞÁÅÍ
                     du     √          du    dx
                        x4
                         = x u · x2 ⇒ √ =       ,
                     dx                  u    x
           du    dx        √                      1
         Z     Z
           √ =      + c ⇒ 2 u = ln |x| + c ⇒ u = (ln |x| + c)2 .
            u    x                                4

Страницы