Моделирование колебательных процессов (на примере физических задач). Щеглова И. Ю - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГОСГИ | Коломна

Составители: 

Рубрика: 

52 Моделирование свободных колебаний физического маятника
Лабораторная работа № 1.4.
МОДЕЛИРОВАНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ ФИЗИЧЕСКОГО
МАЯТНИКА
Цель работы: моделирование свободных колебаний физического маятника.
Оборудование: апплет "Физический маятник", ЭТ MS Excel.
Введение
Физическим маятником называется твердое тело, способное совершать
колебания вокруг неподвижной точки, не совпадающей с его центром инерции.
В состоянии равновесия центр инерции маятника находится под точкой подвеса,
на одной с ней вертикали. Пусть маятник представляет собой однородный
цилиндр массой m, подвешенный на нити длиной L. Высота цилиндра Н, радиус
основания R (см. рис. 1).
При отклонении маятника от положения
равновесия на угол θ возникает вращательный
момент, стремящийся вернуть маятник в
положение равновесия:
θ⋅⋅−= sin
lmgM
o
,
где
l
– расстояние от точки подвеса О до центра
инерции цилиндра С, т.е. в нашем случае
2
H
L +=
l . Обозначим момент инерции
маятника относительно оси, проходящей через
точку подвеса, буквой J
o
. Тогда уравнение
динамики вращательного движения для такого
маятника запишется в виде:
Рис. 1. Физический маятник.
θ⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⋅−=
θ
⋅ sin
2d
d
2
2
H
Lmg
t
J
o
. (1)
Нетрудно видеть, что при малых отклонениях (
θ
≈
θ
sin
) (1) переходит в
известное нам уравнение свободных незатухающих колебаний
0
d
d
2
2
=θ⋅+
θ
o
J
mg
t
l
или
0
d
d
2
2
2
=θω+
θ
o
t
, (1*)
решение которого будет иметь вид
(
)
oo
t
ϕ
+
ω
⋅
θ
=
θ
sin
max
(см. Лабораторную
работу № 1.1). Это означает, что при малых отклонениях от положения
равновесия физический маятник совершает гармонические колебания, частота
которых зависит от массы маятника, момента инерции его относительно оси
вращения и от расстояния между осью вращения и центром инерции маятника.
Момент инерции маятника J
o
по теореме Штейнера может быть
представлен в виде 
52                  Моделирование свободных колебаний физического маятника


                           Лабораторная работа № 1.4.
   МОДЕЛИРОВАНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ ФИЗИЧЕСКОГО
                             МАЯТНИКА
Цель работы: моделирование свободных колебаний физического маятника.
Оборудование: апплет "Физический маятник", ЭТ MS Excel.
                                     Введение
      Физическим маятником называется твердое тело, способное совершать
колебания вокруг неподвижной точки, не совпадающей с его центром инерции.
В состоянии равновесия центр инерции маятника находится под точкой подвеса,
на одной с ней вертикали. Пусть маятник представляет собой однородный
цилиндр массой m, подвешенный на нити длиной L. Высота цилиндра Н, радиус
основания R (см. рис. 1).
      При отклонении маятника от положения
равновесия на угол θ возникает вращательный
момент, стремящийся вернуть маятник в
положение равновесия:
     M o = −mg ⋅ l ⋅ sin θ ,
где l – расстояние от точки подвеса О до центра
инерции цилиндра С, т.е. в нашем случае
l=L+H .        Обозначим     момент    инерции
         2
маятника относительно оси, проходящей через
точку подвеса, буквой Jo. Тогда уравнение
динамики вращательного движения для такого          Рис. 1. Физический маятник.
маятника запишется в виде:
          d2 θ       ⎛    H⎞
     J o ⋅ 2 = −mg ⋅ ⎜ L + ⎟ ⋅ sin θ .                                        (1)
          dt         ⎝    2⎠
Нетрудно видеть, что при малых отклонениях ( θ ≈ sin θ ) (1) переходит в
известное нам уравнение свободных незатухающих колебаний
     d 2 θ mgl             d 2θ
         2
           +    ⋅ θ = 0 или 2 + ωo2 θ = 0 ,                                  (1*)
     dt      Jo            dt
решение которого будет иметь вид θ = θ max ⋅ sin (ω o t + ϕ o ) (см. Лабораторную
работу № 1.1). Это означает, что при малых отклонениях от положения
равновесия физический маятник совершает гармонические колебания, частота
которых зависит от массы маятника, момента инерции его относительно оси
вращения и от расстояния между осью вращения и центром инерции маятника.
     Момент инерции маятника Jo по теореме Штейнера может быть
представлен в виде

Страницы