Механика. Щербаченко Л.А. - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

87
Это есть уравнение, которое описывает движение ракет с
нерелятивистскими скоростями в отсутствие внешних сил. Если на ракету
действует сила F, то уравнение (6) примет вид
dt
dM
uF
dt
vd
M
r
r
r
′
+= (7)
Обозначим ежесекундный расход топлива через
µ
. Очевидно, что
dt
dM
−=µ . Поэтому уравнение (7) можно также записать в виде
uF
dt
vd
M
r
r
r
′
−= µ (8)
Величина
u
r
′
µ
представляет реактивную силу. Если u
противоположно v
r
, то ракета ускоряется, а если совпадает с v
r
, то
тормозится. При другом соотношении между ними происходит изменение
скорости не только по модулю, но и по направлению.
Формула Циолковского.
Рассмотрим ускорение ракеты в прямолинейном движении, считая, что
скорость выбрасываемых газов относительно ракеты постоянна. Уравнение
(6) запишется так:
dt
dM
u
dt
dv
M
′
−= (9)
причем знак минус в правой части обусловлен тем, что скорость u
при
ускорении противоположна скорости v
r
.
Обозначим через
o
v и
o
M скорость и массу ракеты перед началом
ускорения. Тогда, переписав уравнение (9) в виде
u
dv
M
dM
′
−= (10)
и проинтегрировав это равенство, получим
u
vv
MM
o
o
′
−
−=− lnln (11)
Это и есть формула Циолковского, которую удобно представить в
одном из следующих двух видов:
M
M
uvv
o
o
ln
′
=− (12а)
u
vv
o
o
eMM
′
−
−
= (12б)
Формула Циолковского (12а) показывает изменение скорости ракеты,
когда ее масса изменится от
o
M до
M
, а (12б) дает ответ на вопрос,
какова будет масса ракеты, если ее скорость изменилась от
o
v до
v
. При
ускорении из состояния покоя 0=
o
v .
Наиболее важной проблемой является достижение максимальной
скорости при минимальном расходе топлива, т. е. при минимальной разнице
o
M и
M
. Из (12а) видно, что этого можно достигнуть только увеличением
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                 Это есть уравнение, которое описывает движение ракет с
            нерелятивистскими скоростями в отсутствие внешних сил. Если на ракету
            действует сила F, то уравнение (6) примет вид
                      r
                     dv r r dM
                   M    = F + u′                                                        (7)
                     dt          dt
                   Обозначим ежесекундный расход топлива через µ . Очевидно , что
                dM
             µ=−    . Поэтому уравнение (7) можно также записать в виде
                 dt
                      r
                    dv r       r
                 M      = F − µu ′ (8)
                    dt
                                    r                                        r
                 Величина          µu ′ представляет реактивную силу. Если u ′
                                  r                                       r
            противоположно v , то ракета ускоряется, а если совпадает с v , то
            тормозится. При другом соотношении между ними происходит изменение
            скорости не только по модулю, но и по направлению.



                                    Формула Циолковского.
                  Рассмотрим ускорение ракеты в прямолинейном движении, считая, что
            скорость выбрасываемых газов относительно ракеты постоянна. Уравнение
            (6) запишется так:
                       dv        dM
                   M      = −u ′                                                        (9)
                       dt         dt
                                                                                   r
                 причем знак минус в правой части обусловлен тем, что скорость u ′ при
                                               r
            ускорении противоположна скорости v .
                 Обозначим через v o и M o скорость и массу ракеты перед началом
            ускорения. Тогда, переписав уравнение (9) в виде
                   dM    dv
                      =−                                                               (10)
                    M    u′
                   и проинтегрировав это равенство, получим
                                             v − vo
                   ln M − ln M o = −                                                   (11)
                                               u′
                 Это и есть формула Циолковского, которую удобно представить в
            одном из следующих двух видов:
                                        Mo
                   v − v o = u ′ ln                                                (12а)
                                        M
                                   v − vo
                               −
                   M = M oe          u′
                                                                              (12б)
                 Формула Циолковского (12а) показывает изменение скорости ракеты,
            когда ее масса изменится от M o до M , а (12б) дает ответ на вопрос,
            какова будет масса ракеты, если ее скорость изменилась от v o до v . При
            ускорении из состояния покоя v o = 0 .
                 Наиболее важной проблемой является достижение максимальной
            скорости при минимальном расходе топлива, т. е. при минимальной разнице
            M o и M . Из (12а) видно, что этого можно достигнуть только увеличением

                                                                                         87

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы