Механика. Щербаченко Л.А. - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

86
Однако имеется одно существенное различие между реактивными
движениями ракеты и других сил. В ракетном двигателе тяга создается
извержением продуктов горения, которые до участия в создании тяги входят
в массу ракеты. В других рассмотренных случаях этого нет. Например,
отбрасываемый пропеллером самолета воздух ни в какой момент времени
не является частью его массы. Поэтому, говоря о реактивном движении,
мы имеем в виду ситуацию, которая существует в ракетном двигателе. Это
означает, что рассматривается движение тел переменной массы, причем тяга
создается в результате извержения части массы, принадлежащей телу.
Уравнение движения.
Пусть ракета, имеющая в момент
t
массу
(
)
tM и движущаяся со скоростью v
r
,
выбрасывает массу dm со скоростью u
r
(рис.
1). Здесь следует подчеркнуть, что
(
)
tM и
dm являются релятивистскими массами, а скорости v
r
и u
r
берутся относи-
тельно инерциальной системы координат, в которой рассматривается движе-
ние (а не относительно ракеты).
Закон сохранения массы имеет вид
0
=
+
dmdM (1)
Очевидно, что 0
<
dM , поскольку масса ракеты уменьшается. В момент
t
полный импульс системы равен vM
, а в момент
(
)
dtt + он выражается
формулой
(
)
(
)
dmuvdvdMM
r
r
r
+++ . Тогда закон сохранения импульса данной
изолированной системы запишется в виде
(
)
(
)
vMdmuvdvdMM
r
r
r
r
=+++ (2)
Отсюда следует равенство
0
=
+
+
dmudMvvMd
r
r
r
(3)
причем член vdMd
r
отброшен как бесконечно малый член второго
порядка малости. Принимая во внимание (1), получим уравнение
движения
( )
dt
dM
uvM
dt
d
rr
= (4)
которое справедливо как в релятивистском, так и нерелятивистском
случае.
При малых скоростях для их сложения можно воспользоваться форму-
лой классической механики и представить и в виде
vuu
r
r
r
+
′
=
(5)
где u
r
′
– скорость выброшенной массы относительно ракеты.
Подставив (5) в (4) и продифференцировав левую часть (4) по времени, по-
лучим
( )
dt
dM
u
dt
dM
vu
dt
vd
M
rrr
r
′
=−= (6)
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                  Однако имеется одно существенное различие между реактивными
            движениями ракеты и других сил. В ракетном двигателе тяга создается
            извержением продуктов горения, которые до участия в создании тяги входят
            в массу ракеты. В других рассмотренных случаях этого нет. Например,
            отбрасываемый пропеллером самолета воздух ни в какой момент времени
            не является частью его массы. Поэтому, говоря о реактивном движении,
            мы имеем в виду ситуацию, которая существует в ракетном двигателе. Это
            означает, что рассматривается движение тел переменной массы, причем тяга
            создается в результате извержения части массы, принадлежащей телу.


                                                Уравнение движения.
                                                           Пусть ракета, имеющая в момент t массу
                                                                                               r
                                                    M (t ) и движущаяся со скоростью v ,
                                                                                          r
                                                    выбрасывает массу dm со скоростью u (рис.
                                                    1). Здесь следует подчеркнуть, что M (t ) и
                                                                            r  r
            dm являются релятивистскими массами, а скорости v и u берутся относи-
            тельно инерциальной системы координат, в которой рассматривается движе-
            ние (а не относительно ракеты).
                  Закон сохранения массы имеет вид
                  dM + dm = 0                                                                 (1)
                  Очевидно, что dM < 0 , поскольку масса ракеты уменьшается. В момент
                                                             r
            t полный импульс системы равен Mv , а в момент (t + dt ) он выражается
                                      r     r r
            формулой (M + dM )(v + dv ) + u dm . Тогда закон сохранения импульса данной
            изолированной системы запишется в виде
                  (M + dM )(vr + dvr ) + urdm = Mvr                                           (2)
                  Отсюда следует равенство
                     r r         r
                  Mdv + v dM + u dm = 0                                                       (3)
                                            r
                  причем член dMdv отброшен как бесконечно малый член второго
            порядка малости. Принимая во внимание (1), получим уравнение
            движения
                    d
                       (Mvr ) = ur dM                                                        (4)
                    dt              dt
                 которое справедливо как в релятивистском, так и нерелятивистском
            случае.
                 При малых скоростях для их сложения можно воспользоваться форму-
            лой классической механики и представить и в виде
                  r r r
                  u = u′ + v                                                     (5)
                         r
                 где u ′ – скорость выброшенной массы относительно ракеты.
            Подставив (5) в (4) и продифференцировав левую часть (4) по времени, по-
            лучим
                      r
                           r r dM r dM
                        = (u − v )
                     dv
                   M                  = u′                                                   (6)
                     dt            dt      dt



                                                                                              86

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы