Математическая логика и теория алгоритмов. Сергиевская И.М. - 28 стр.

       = (∀yA( y, a ) ∨ ∀yA( y, b) ∨ ∀yA( y, c) ) ∨ B (a, y ) B(b, y ) B(c, y ) =
= A(a, a) A(b, a) A(c, a ) ∨ A(a, b) A(b, b) A(c, b) ∨ A(a, c) A(b, c) A(c, c) ∨
∨ B (a, y ) B(b, y ) B(c, y ).

     С помощью предикатов можно записывать различные математические
утверждения.

     Пример. Покажем, как можно записать утверждение:                               “числовая
последовательность {xn } имеет пределом число a ( lim xn = a )”.
                                                                 n →∞
      Решение. Запишем данное утверждение с помощью кванторов и обозначим
его A :
A = ∀ε∃N∀n(ε > 0 → (n > N → x n − a < ε )).
      Запишем инверсию данного высказывания:
¬A = ¬∀ε∃N∀n(ε > 0 → (n > N → xn − a < ε )) =
= ∃ε¬∃N∀n(ε > 0 → (n > N → xn − a < ε )) =
= ∃ε∀N¬∀n(ε > 0 → (n > N → xn − a < ε )) =
= ∃ε∀N∃n¬(ε > 0 → (n > N → xn − a < ε )).
      По известным формулам, инверсия импликации преобразуется следующим
образом:
¬(K → M ) = ¬(¬K ∨ M ) = ¬¬K ∧ ¬M = K ∧ ¬M .
      Отсюда получаем:
¬A = ∃ε∀N∃n((ε > 0 ) ∧ ¬(n > N → x n − a < ε )) =
= ∃ε∀N∃n((ε > 0 ) ∧ (n > N ) ∧ ¬( xn − a < ε )) =
= ∃ε∀N∃n((ε > 0 ) ∧ (n > N ) ∧ ( x n − a ≥ ε )) .
      Утверждение ¬A означает, что lim xn ≠ a , то есть число a не является
                                                    n →∞
пределом числовой последовательности {xn }.

В Содержание.



       Задачи.

       1. Среди следующих предложений выделить предикаты, и для каждого
предиката установить местность и область истинности, если X = R . Для
двуместных предикатов изобразить область истинности графически.
1) x + 2 = 0 .
2) При x = 0 выполняется равенство x − 2 = 0 .
3) x 3 − 8 = 0 .
      (           )
4) ∃x x 3 − 8 = 0 .


                                                    33