Руководство по решению задач по курсу "Вариационное исчисление и методы оптимизации". Шарапов В.Г. - 3 стр.

                               государственного университета, 2004

                              Введение
       Методическое пособие предназначено для обучения студентов ре-
шению задач по курсу "Вариационное исчисление и методы оптимизации"
(ВИМО).
       Решение задач по ВИМО не простое дело, требующее не только
знаний предмета, но и определённой интуиции и смекалки. Чтобы вырабо-
тать в себе эти качества необходимо наработать опыт решения таких задач,
т.е., попросту, решать их. Решение этих задач обычно требует больших
затрат времени, но с каждой решённой задачей приходит удовлетворение и
уверенность в себе.
       Задачи усложняются постепенно, самые сложные − это задачи оп-
тимального управления, они помещены в конце методического пособия.
       Рекомендуется сначала изучить правила решения, а затем пытаться
решать самостоятельно, при необходимости заглядывая в пособие.
       Каждая задача (P) по ВИМО начинается с формализации типа:
                                 f(x) → extr (P),
и определения области D(P) допустимых решений x ∈D(P) задачи (P).
После этого обычно используются необходимые условия экстремума, по
ним определяются экстремали x̂ , среди которых только и могут быть ре-
шения задачи. Затем по определению экстремумов (обычно даны опреде-
ления локального минимума, остальные определяются по аналогии) уста-
навливаются, какими экстремумами являются x̂ или не являются вовсе.
Достаточные условия привлекаются только в простейших случаях.
В большинстве же случаев их привлечение очень сложно. Часто использу-
ется следствие из теоремы Вейерштрасса о достижении экстремума на
компактном множестве:
                                  n
Если функция f непрерывна на R и lim f ( x ) = ∞ ( lim f ( x ) = −∞ ),
                                       |x|→∞          |x|→∞

то f достигает абсолютный минимум (максимум) на любом замкнутом
               n
подмножестве R .
     Автор выражает благодарность А.Клячину за ценные замечания.
       При подготовке пособия использовалась литература:
1.   Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М., Сборник задач по
     оптимизации, Учебное пособие, М., Наука, 1979
2.   Галеев Э.М., Тихомиров В.М., Краткий курс теории экстре-
     мальных задач, Издательство МГУ, 1989
3.   Галеев Э.М., Тихомиров В.М., Оптимизация: теория, примеры,

                                   3