Руководство по решению задач по курсу "Вариационное исчисление и методы оптимизации". Шарапов В.Г. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

5
1. Конечномерные гладкие задачи без ограничений
Постановка задачи. Пусть f: R
n
→ R − функция n действитель-
ных переменных, обладающая некоторой гладкостью (дифференцируемо-
стью).
)
ˆ
(xDf
k
∈ означает, что функция f k раз дифференцируема в
точке
x
ˆ
.
Гладкой конечномерной задачей называется задача
extrxf →)( .
Точка
n
Rx ∈
ˆ
называется точкой локального минимума (максиму-
ма) функции
f, если
))
ˆ
()(()
ˆ
()(|
ˆ
| xfxfxfxfxx
≤
≥⇒<
−
ε
.
Здесь |⋅| − обозначение нормы в конечномерном пространстве. При
этом пишем
)max
ˆ
(min
ˆ
flocxflocx
∈
∈
.
Необходимые условия экстремума первого порядка.
Если
fextrlocxxx
n
∈
= ),,(
ˆ
1
K и
)
ˆ
(xDf
∈
, то
0
)
ˆ
()
ˆ
(
0)
ˆ
(
1
=
∂
∂
==
∂
∂
⇔=
′
n
x
xf
x
xf
xf K
.
Необходимые условия экстремума второго порядка.
Если
)
ˆ
(
2
xDf ∈ ,
flocx min(max)
ˆ
∈
, то
0)
ˆ
(
=
′
xf
,
0,)
ˆ
( ≥
′′
hhxf
()
0,)
ˆ
( ≤
′′
hhxf
n
Rh ∈∀ .
Достаточные условия экстремума второго порядка.
0)
ˆ
( =
′
xf . 0,)
ˆ
( >
′′
hhxf
(
)
0,)
ˆ
( <
′′
hhxf
n
Rh ∈∀ , h ≠ 0.
Последовательными главными минорами матрицы
n
jiij
aA
1,
)(
=
=
называются определители
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
kkk
k
k
aa
aa
A
K
KKK
K
1
111
,...,1
det
.
Главными минорами
n
ii
A
K
1
матрицы A называются определители
,det
1
111
1
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
kkk
k
k
iiii
iiii
ii
aa
aa
A
K
KKK
K
K
i
1
< i
2
< … < i
k
. 
      1. Конечномерные гладкие задачи без ограничений
                                                  n
       Постановка задачи. Пусть f: R → R − функция n действитель-
ных переменных, обладающая некоторой гладкостью (дифференцируемо-
стью). f ∈ D (xˆ ) означает, что функция f k раз дифференцируема в
                   k


точке x̂ .
      Гладкой конечномерной задачей называется задача f ( x ) → extr .
      Точка xˆ ∈ R называется точкой локального минимума (максиму-
                       n

ма) функции f, если
      | x − xˆ | < ε ⇒ f ( x ) ≥ f ( xˆ ) ( f ( x ) ≤ f ( xˆ )) .
      Здесь |⋅| − обозначение нормы в конечномерном пространстве. При
этом пишем xˆ ∈ loc min f ( xˆ ∈ loc max f ) .
      Необходимые условия экстремума первого порядка.
      Если xˆ = ( x1 , K , x n ) ∈ loc extr f и f ∈ D(xˆ ) , то
                           ∂f ( xˆ )     ∂f ( xˆ )
       f ′( xˆ ) = 0 ⇔               =K=           = 0.
                            ∂x1           ∂x n
      Необходимые условия экстремума второго порядка.
      Если f ∈ D ( xˆ ) ,
                       2
                                    xˆ ∈ loc min(max) f , то f ′( xˆ ) = 0 ,
 f ′′( xˆ )h, h ≥ 0    (   f ′′( xˆ )h, h ≤ 0) ∀h ∈ R n .
      Достаточные условия экстремума второго порядка.
       f ′( xˆ ) = 0 . f ′′( xˆ )h, h > 0    (   f ′′( xˆ )h, h < 0 ) ∀h ∈ R n , h ≠ 0.
      Последовательными главными минорами матрицы A = ( a ij ) i , j =1
                                                                                n


называются определители
                        ⎛ a11 K a1k ⎞
                        ⎜            ⎟
       A1,...,k   = det ⎜ K K K ⎟ .
                        ⎜a           ⎟
                        ⎝ k 1 K a kk ⎠
      Главными минорами Ai1Kin матрицы A называются определители

                        ⎛ ai1i1 K ai1ik ⎞
                        ⎜                ⎟
       Ai1Kik     = det ⎜ K K K ⎟, i1 < i2 < … < ik .
                        ⎜a               ⎟
                        ⎝ ik i1 K aik ik ⎠

                                            5

Страницы