Руководство по решению задач по курсу "Вариационное исчисление и методы оптимизации". Шарапов В.Г. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

7
Найти
A
i…k
. Если все A
i…k
> 0, то
flocx min
ˆ
∈
; если все
(−1)
k
A
i…k
> 0, то flocx max
ˆ
∈ .
Если предыдущие условия не выполняются, то надо проверить, бу-
дет ли
0
1
≥
k
ii
A
K
; ,1
1
nii
k
≤
≤
≤
≤ K nk ,,1 K
=
(тогда 0≥A ) и
(−1)
k
0
1
≥
k
ii
A
K
, nknii
k
,,1,1
1
KK
=
≤
≤
≤≤ (тогда
0
≤
A
). Если
не выполняются оба условия
0
≤
A
и
0≥A
, то экстремума нет. Если вы-
полняется одно из условий
0
≤
A или 0≥A , то проверка на экстремум
производится по определению экстремума.
Пример 1.
extr
xx
xxxxf →++=
21
2121
2050
),(
.
Необходимые условия экстремума первого порядка:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=−=
=−=
0
20
0
50
2
2
1
2
1
2
2
1
x
xf
x
xf
x
x
⇔
⎩
⎨
⎧
=
=
20
50
2
21
2
2
1
xx
xx
⇒
21
2050
xx
=
⇒
21
2
5
xx =
.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
20
2
5
2
21
21
xx
xx
⇒ x
1
=5, x
2
= 2.
Стационарная точка
)2,5(
ˆ
=
x
.
Вторые частные производные
,
100
3
1
11
x
f
xx
= ,1
1221
=
=
xxxx
ff
3
2
40
22
x
f
xx
= .
Матрица вторых частных производных в точке
x
ˆ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
51
15/4
A
.
Последовательные главные миноры:
,0
5
4
1
>=A flocxA min
ˆ
03
51
1
5
4
21
∈⇒>== .
Минимальное и максимальное значения функции
f(x
1
, x
2
): 
         Найти Ai…k. Если все Ai…k > 0, то   xˆ ∈ loc min f ; если все
    k
(−1) Ai…k > 0, то xˆ ∈ loc max f .
         Если предыдущие условия не выполняются, то надо проверить, бу-
дет ли    Ai1Kik ≥ 0 ; 1 ≤ i1 ≤ K ≤ ik ≤ n, k = 1, K , n (тогда A ≥ 0 ) и
(−1)k Ai1Kik ≥ 0 , 1 ≤ i1 ≤ K ≤ ik ≤ n, k = 1, K , n (тогда A ≤ 0 ). Если
не выполняются оба условия A ≤ 0 и A ≥ 0 , то экстремума нет. Если вы-
полняется одно из условий A ≤ 0 или A ≥ 0 , то проверка на экстремум
производится по определению экстремума.
         Пример 1.
                                   50 20
         f ( x1 , x2 ) = x1 x2 +     +   → extr .
                                   x1 x2
         Необходимые условия экстремума первого порядка:
         ⎧              50
         ⎪⎪ f x1 = x2 − x 2 = 0  ⎧ x12 x 2 = 50   50 20       5
          ⎨
                         1
                                ⇔⎨ 2            ⇒   =   ⇒ x1 = x 2 .
                        20       ⎩ x1 x 2 = 20    x1 x2       2
          ⎪ f x2 = x1 − 2 = 0
          ⎩⎪            x2

         ⎧          5
         ⎪ x1 = x 2
         ⎨          2    ⇒ x1 =5, x2 = 2.
         ⎪⎩ x1 x 22 = 20
         Стационарная точка xˆ = (5, 2) .
                                               100
         Вторые частные производные f x1x1 =        , f x1x2 = f x2 x1 = 1,
                                                x13
                        40
           f x 2 x2 =        .
                        x 23
                                                                  ⎛ 4 / 5 1⎞
         Матрица вторых частных производных в точке x̂ A = ⎜⎜              ⎟⎟ .
                                                                  ⎝ 1 5⎠
         Последовательные главные миноры:
                             4    1
         A1 = 4 > 0, A1 2 = 5       = 3 > 0 ⇒ xˆ ∈ loc min f .
               5              1 5
         Минимальное и максимальное значения функции f(x1, x2):

                                         7

Страницы