Руководство по решению задач по курсу "Вариационное исчисление и методы оптимизации". Шарапов В.Г. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

6
Второй производной функции нескольких переменных является
симметричная матрица вторых частных производных
n
jiij
n
ji
ji
a
xx
xf
xfA
1,
1,
2
)(
)
ˆ
(
)
ˆ
(
=
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂∂
∂
=
′′
= .
Матрица
A называется неотрицательно определенной (A ≥ 0), если
∑
=
∈=∀≥⇔∈∀≥
n
ji
n
njiij
n
RhhhhhaRhhAh
1,
1
),,(00, K
.
Матрица
A называется положительно определенной (A > 0), если
0,0, ≠∈∀> hRhhAh
n
.
Аналогично определяются отрицательно определенная матрица и
неположительно определенная матрица, для которых соответственно
A < 0, A ≤ 0.
Критерий Сильвестра.
Теорема
. Пусть A − симметричная матрица. Тогда
1.
.,,1,00
1
nkAA
k
K
K
=
>⇔>
2.
nkAA
k
k
,,1,0)1(0
1
K
K
=>⋅−⇔<
3.
nkniiAA
kii
k
,,1,1,00
1
1
KK
K
=
≤
≤
≤
≤
≥⇔≥
4.
.,,1,1,0)1(0
1
1
nkniiAA
kii
k
k
KK
K
=≤≤≤≤≥−⇔≤
Правило решения.
1. Выписать необходимые условия экстремума первого порядка
0
)()(
0)(
1
=
∂
∂
==
∂
∂
⇔=
′
n
x
xf
x
xf
xf K
Решения этой системы называются стационарными точками и обознача-
ются
x
ˆ
.
2. Проверить выполнение условий экстремума второго порядка. Для
этого найти матрицу вторых производных
n
jiij
n
ji
ji
a
xx
xf
xfA
1,
1,
2
)(
)
ˆ
(
)
ˆ
(
=
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂∂
∂
=
′′
= . 
     Второй производной функции нескольких переменных является
симметричная матрица вторых частных производных
                                                        n
                                ⎛ ∂ 2 f ( xˆ ) ⎞
               A = f ′′( xˆ ) = ⎜              ⎟ = ( aij ) in, j =1 .
                                ⎜ ∂x ∂x ⎟
                                ⎝ i j ⎠ i , j =1
      Матрица A называется неотрицательно определенной (A ≥ 0), если
                                           n
           Ah, h ≥ 0 ∀h ∈ R n ⇔          ∑a h h
                                         i , j =1
                                                     ij i   j   ≥ 0 ∀h = ( h1 , K , hn ) ∈ R n

       .
      Матрица A называется положительно определенной (A > 0), если
       Ah, h > 0 ∀h ∈ R n , h ≠ 0 .
      Аналогично определяются отрицательно определенная матрица и
неположительно определенная матрица, для которых соответственно
A < 0, A ≤ 0.
      Критерий Сильвестра.
      Теорема. Пусть A − симметричная матрица. Тогда
      1. A > 0 ⇔ A1Kk > 0, k = 1, K , n.
      2. A < 0 ⇔ ( −1) ⋅ A1Kk > 0, k = 1, K , n
                           k


      3.   A ≥ 0 ⇔ Ai1Kik ≥ 0, 1 ≤ i1 ≤ K ≤ ik ≤ n, k = 1, K , n
      4. A ≤ 0 ⇔ ( −1) Ai1Kik ≥ 0,                  1 ≤ i1 ≤ K ≤ ik ≤ n, k = 1, K , n.
                           k



      Правило решения.
      1. Выписать необходимые условия экстремума первого порядка
                                     ∂f ( x )     ∂f ( x )
                  f ′( x ) = 0 ⇔              =K=          =0
                                      ∂x1          ∂xn
Решения этой системы называются стационарными точками и обознача-
ются x̂ .
       2. Проверить выполнение условий экстремума второго порядка. Для
этого найти матрицу вторых производных
                                                        n
                                   ⎛ ∂ 2 f ( xˆ ) ⎞
                  A = f ′′( xˆ ) = ⎜              ⎟ = ( aij ) in, j =1 .
                                   ⎜ ∂x ∂x ⎟
                                   ⎝ i j ⎠ i , j =1


                                            6

Страницы