Руководство по решению задач по курсу "Вариационное исчисление и методы оптимизации". Шарапов В.Г. - 8 стр.

                Smin = −∞, Smax = +∞.
      ( Для последовательностей {(− 1 n , − 1 n )} и {(1 4 , 1 n )} соответ-
ственно).
      Пример 2.
        f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + x 22 + 2 x32 + x1 x 2 + 2 x1 x3 + 3x 2 x3 − x1 → extr

      Необходимые условия экстремума первого порядка:
       ⎧ f x1 = 2 x1 + x 2 + 2 x3 − 1 = 0
       ⎪
       ⎨ f x2 = 2 x 2 + x1 + 3x3 = 0 .
       ⎪ f = 4 x + 2 x + 3x = 0
       ⎩ x3         3      1      2

      Решив эту систему, находим стационарную точку
xˆ = (1 2 , − 1, 1 2) .
      Вторые частные производные f x1x1 = 2, f x1 x2 = f x2 x1 = 1,
       f x1x3 = f x3 x1 = 2, f x2 x2 = 2, f x2 x3 = f x3 x2 = 3, f x3 x3 = 4.
      Матрица вторых частных производных в точке x̂
    ⎛2 1 2⎞
    ⎜            ⎟
A = ⎜ 1 2 3⎟ .
    ⎜2 3 4⎟
    ⎝            ⎠
      Последовательные главные миноры: A1 = 2, A12 = 3, A123 = −2.
Так как условия A ≥ 0 и A ≤ 0 не выполняются, то xˆ ∉ loc extr f .
      Минимальное и максимальное значения функции f(x1, x2, x3):
       Smin = −∞, Smax = +∞. (Соответствующие последовательности
легко построить).

     2. Конечномерные гладкие задачи с ограничениями
типа равенств
                                   n
     Постановка задачи. Пусть fi: R → R, i = 0, m − функции, об-
ладающие определенной гладкостью.
      Гладкой конечномерной задачей с ограничениями типа равенств на-
зывается задача:
        f 0 ( x ) → extr , f i ( x ) = 0 , i = 1, m .     (P)


                                           8