Руководство по решению задач по курсу "Вариационное исчисление и методы оптимизации". Шарапов В.Г. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

10
Условие максимума аналогично, если
∑
=
+−=Λ
m
k
ii
xfxfx
1
0
)()()(
λ
.
Правило решения. Для решения задачи (P) нужно:
1. Составить функцию Лагранжа
∑
=
=Λ
m
i
ii
xfx
0
)()(
λ
.
2. Написать необходимое условие экстремума первого порядка −
условие стационарности:
0)
ˆ
( =Λ
′
x
x
0)
ˆ
(
0
=
′
⇔
∑
=
m
i
ii
xf
λ
(1)
3. Решение системы (1) даёт стационарные точки. При этом сначала
рассматривается случай
λ
0
= 0, а затем
λ
0
= 1 или любое другое положи-
тельное число. Обычно этого достаточно, чтобы установить, являются ли
стационарные точки точками локального или абсолютного максимума или
минимума по их определению. Можно воспользоваться достаточными ус-
ловиями экстремума второго порядка. При этом для максимума удобно
брать
λ
0
= −1 или любое другое отрицательное число.
Пример 1. extrxyzzyxf →
=
),,( ; 1
222
=++ zyx ,
0=+
+
zyx .
Функция Лагранжа
)()1()(
2
222
10
zyxzyxxyzx +++−+++=Λ
λλλ
.
Условия стационарности:
020
210
=
+
+
⇔
=Λ
λ
λ
λ
xyz
x
,
020
210
=
+
+
⇔
=Λ
λ
λ
λ
yxz
y
,
020
210
=
+
+
⇔=Λ
λ
λ
λ
zxy
z
.
Пусть
λ
0
= 0. Тогда 02
21
=
+
λ
λ
x , 02
21
=
+
λ
λ
y ,
02
21
=+
λ
λ
z .
Если эти три равенства сложить и принять во внимание, что
0
=
++ zyx , получаем
λ
2
= 0, а значит, и
λ
1
= 0. Отсюда
λ
0
≠ 0.
Принимаем
λ
0
= 1. Получаем:
yz + 2
λ
1
x +
λ
2
= 0
xz +2
λ
1
y +
λ
2
= 0
xy +2
λ
1
z +
λ
2
= 0 
       Условие максимума аналогично, если
                         m
Λ ( x ) = − f 0 ( x ) + ∑ λi f i ( x ) .
                        k =1
       Правило решения. Для решения задачи (P) нужно:
                                                             m
       1. Составить функцию Лагранжа Λ ( x ) =               ∑ λ f ( x) .
                                                             i =0
                                                                    i   i


      2. Написать необходимое условие экстремума первого порядка −
условие стационарности:
                                           m
                     Λ ′x ( xˆ ) = 0 ⇔ ∑ λi f i′( xˆ ) = 0                  (1)
                                           i =0

      3. Решение системы (1) даёт стационарные точки. При этом сначала
рассматривается случай λ0 = 0, а затем λ0 = 1 или любое другое положи-
тельное число. Обычно этого достаточно, чтобы установить, являются ли
стационарные точки точками локального или абсолютного максимума или
минимума по их определению. Можно воспользоваться достаточными ус-
ловиями экстремума второго порядка. При этом для максимума удобно
брать λ0 = −1 или любое другое отрицательное число.

       Пример 1. f ( x, y , z ) = xyz → extr ; x 2 + y 2 + z 2 = 1 ,
        x + y + z = 0.
       Функция Лагранжа
         Λ ( x ) = λ0 xyz + λ1 ( x 2 + y 2 + z 2 − 1) + λ2 ( x + y + z ) .
       Условия стационарности:
                     Λ x = 0 ⇔ λ0 yz + 2λ1 x + λ2 = 0 ,
                     Λ y = 0 ⇔ λ0 xz + 2λ1 y + λ2 = 0 ,
                     Λ z = 0 ⇔ λ0 xy + 2λ1 z + λ2 = 0 .
       Пусть λ0 = 0. Тогда 2λ1 x + λ2 = 0 , 2λ1 y + λ2 = 0 ,
2λ1 z + λ2 = 0 .
       Если эти три равенства сложить и принять во внимание, что
x + y + z = 0 , получаем λ2 = 0, а значит, и λ1 = 0. Отсюда λ0 ≠ 0.
      Принимаем λ0 = 1. Получаем:
                yz + 2λ1x + λ2 = 0
                xz +2λ1y + λ2 = 0
                xy +2λ1z + λ2 = 0
                                                  10

Страницы